Chiến lược giải bài toán tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba – Toán lớp 11 dễ hiểu, chi tiết

1. Giới thiệu về bài toán tứ phân vị và tầm quan trọng

Bài toán “tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba” là một dạng bài tập thống kê thường gặp trong chương “Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm” của Toán lớp 11. Tứ phân vị giúp chia bộ dữ liệu thành bốn phần bằng nhau, đánh giá mức độ phân tán và vị trí của các giá trị trong tập hợp dữ liệu.

Việc hiểu và vận dụng cách tính tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$), tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) không chỉ phục vụ học tập mà còn có ứng dụng thực tiễn lớn trong phân tích dữ liệu, đưa ra các kết luận về xu hướng, mức độ tập trung và phân tán của số liệu trong các lĩnh vực như Kinh tế, Xã hội, Điều tra, Nghiên cứu,...

2. Đặc điểm của loại bài toán tính tứ phân vị

- Bài toán yêu cầu xác định giá trị phân chia dãy số liệu đã sắp xếp ra các phần bằng nhau (mỗi phần chiếm 25%).

• Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$): là giá trị phân chia 25% số liệu nhỏ nhất với 75% số liệu còn lại.
• Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$): là giá trị phân chia 75% số liệu nhỏ nhất với 25% số liệu lớn nhất.

- Đặc điểm: Thường chia dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần có số phần tử (hoặc tổng tần số) xấp xỉ bằng nhau.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

- Xác định kiểu dữ liệu (tập hợp số rời rạc, bộ dữ liệu ghép nhóm hay bảng tần số).

- Sắp xếp số liệu tăng dần (nếu chưa cho sẵn).

- Xác định vị trí các tứ phân vị trên cột vị trí số liệu (hoặc cộng dồn tần số).

- Sử dụng công thức phù hợp để xác định giá trị tứ phân vị.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho dãy số liệu sau:
2, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 13, 17, 20
Hãy tính tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) và thứ ba ($Q_3$) của dãy số liệu.

Bước 1: Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự tăng dần

Dữ liệu đã cho đã sắp xếp tăng dần: 2, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 13, 17, 20

Bước 2: Xác định số phần tử n

Số phần tử $n = 10$

Bước 3: Xác định vị trí các tứ phân vị

Công thức xác định vị trí:

- Vị trí $Q_1$:$k_1 = \frac{n+1}{4}$

- Vị trí $Q_3$:$k_3 = 3 \times \frac{n+1}{4}$

Thay số:

$k_1 = \frac{10+1}{4} = 2.75$
$k_3 = 3 \times \frac{10+1}{4} = 8.25$

Bước 4: Tìm giá trị $Q_1, Q_3$theo vị trí vừa tính

Vì vị trí không nguyên, áp dụng phép nội suy giữa hai giá trị gần nhất.

Áp dụng công thức nội suy:

$Q_1 = x_{k_1} = x_{[2]} + (k_1 - 2) \cdot (x_{[3]} - x_{[2]})$

$x_{[2]} = 6, x_{[3]} = 7$

$Q_1 = 6 + 0.75 \times (7 - 6) = 6.75$

Tương tự:

$Q_3 = x_{[8]} + (k_3 - 8) \cdot (x_{[9]} - x_{[8]})$

$x_{[8]} = 13, x_{[9]} = 17$

$Q_3 = 13 + 0.25 \times (17 - 13) = 13 + 0.25 \times 4 = 14$

Kết luận:
Tứ phân vị thứ nhất$Q_1 = 6.75$
Tứ phân vị thứ ba$Q_3 = 14$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

A. Dữ liệu rời rạc, đã sắp xếp:

• $Q_1 = x_{[k_1]},\quad k_1 = \frac{n+1}{4}$
• $Q_3 = x_{[k_3]},\quad k_3 = 3\frac{n+1}{4}$

Nếu kết quả $k_1, k_3$không phải số nguyên, dùng nội suy:

$Q = x_{[k_0]} + (k - k_0) \times (x_{[k_0+1]} - x_{[k_0]})$với$k_0 =$phần nguyên của$k$

B. Với bảng tần số hoặc dữ liệu ghép nhóm:

• Dùng công thức tứ phân vị trong bảng tần số, xác định khoảng chứa tứ phân vị.

Công thức tổng quát cho$Q_1$và $Q_3$trong trường hợp này:

$Q_1 = L_1 + \frac{\frac{n}{4} - F_1}{f_1} \cdot d_1$

$Q_3 = L_3 + \frac{\frac{3n}{4} - F_3}{f_3} \cdot d_3$

Trong đó:

• $L_1, L_3$: cận dưới của khoảng (lớp) chứa$Q_1, Q_3$
• $F_1, F_3$: tần số tích lũy trước lớp$Q_1, Q_3$
• $f_1, f_3$: tần số của lớp chứa$Q_1, Q_3$
• $d_1, d_3$: độ dài lớp chứa$Q_1, Q_3$

6. Các biến thể và điều chỉnh chiến lược

* Nếu dữ liệu dạng bảng tần số hoặc ghép nhóm: Xây dựng cột tần số tích lũy, xác định lớp chứa tứ phân vị, áp dụng công thức nội suy.

* Nếu số liệu ít (n < 10): Có thể dùng phương pháp “chia trực tiếp” tùy theo hướng dẫn đề bài.

* Nếu số liệu lớn, nên dùng công thức tổng quát với nội suy hoặc kỹ thuật hỗ trợ máy tính.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Cho bảng dữ liệu điểm kiểm tra của 15 học sinh:
7, 8, 6, 9, 10, 8, 12, 9, 7, 8, 10, 11, 10, 13, 8.
Tính tứ phân vị thứ nhất$Q_1$và tứ phân vị thứ ba$Q_3$.

* Bước 1: Sắp xếp dữ liệu tăng dần:
6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13

* Bước 2: Số phần tử $n = 15$.

* Bước 3: Tính vị trí:
$k_1 = \frac{15+1}{4} = 4$
$k_3 = 3 \times \frac{15+1}{4} = 12$

* Bước 4: Đọc giá trị tứ phân vị:

$Q_1 = x_{[4]} = 8$
$Q_3 = x_{[12]} = 10$

Đáp số:
$Q_1 = 8$,$Q_3 = 10$

8. Bài tập thực hành

Câu 1: Cho dãy số sau: 3, 4, 6, 8, 8, 10, 11, 13, 15, 19, 21, 22.
Hãy tính$Q_1$và $Q_3$.

Câu 2: Điểm kiểm tra của 20 HS: 6, 8, 7, 5, 9, 12, 10, 11, 12, 8, 7, 6, 7, 8, 8, 9, 8, 10, 12, 9.
Tính$Q_1$và $Q_3$.

Câu 3: Cho bảng tần số:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Lớp & [10, 15) & [15, 20) & [20, 25) & [25, 30) & [30, 35) \\
\hline
Tần số & 5 & 8 & 12 & 10 & 5 \\
\hline
\end{tabular}

Tính$Q_1$và $Q_3$.

9. Mẹo, lưu ý giúp tránh sai lầm phổ biến

• Luôn sắp xếp số liệu tăng dần trước khi tìm tứ phân vị.
• Xác định đúng công thức vị trí tùy số phần tử $n$.
• Khi tính vị trí là số thập phân, phải sử dụng phép nội suy.
• Với bảng tần số - xác định đúng khoảng lớp chứa tứ phân vị.
• Kiểm tra tổng số phần tử hoặc tổng tần số khớp với đề bài.

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ bản chất và "cách giải bài toán tính tứ phân vị thứ nhất, thứ ba". Hãy thực hành nhiều để thành thạo kỹ năng này. Nếu còn thắc mắc, hãy bình luận hoặc hỏi giáo viên để được hỗ trợ thêm!