1. Giới thiệu về bài toán ứng dụng logarit trong thực tế và tầm quan trọng

Bài toán ứng dụng logarit trong thực tế, đặc biệt là các bài toán về lãi kép, tăng trưởng dân số, suy giảm phóng xạ, là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Chúng không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm logarit mà còn rèn luyện khả năng vận dụng toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, từ tài chính đến sinh học.

2. Phân tích đặc điểm loại bài toán này

Các bài toán ứng dụng logarit thường liên quan đến việc tìm thời gian, số chu kỳ, lãi suất hoặc giá trị ban đầu/kết thúc trong một quá trình biến đổi theo quy luật mũ (lãi kép, tăng trưởng, phân rã,...). Đặc trưng lớn nhất là biến cần tìm "nằm trên số mũ", bắt buộc phải sử dụng logarit để tìm ra kết quả.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Xác định đối tượng đề bài: Biến nào là ẩn số (số năm, số tiền, tỉ lệ,...) và dạng bài toán (tích luỹ, phân rã sáng tạo hay tìm chu kỳ).
• Lập phương trình theo dạng mũ hoá (thường là:$A = A_0 imes (1 + r)^n$, hoặc$N = N_0 imes a^t$).
• Dùng logarit để giải phương trình khi ẩn nằm trên số mũ.
• Thay số và tính toán cẩn thận.
• Kiểm tra lại kết quả và ý nghĩa thực tiễn.

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Lấy ví dụ thực tiễn về lãi kép: Bạn gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 8%/năm (lãi nhập gốc hàng năm). Hỏi sau bao lâu số tiền sẽ tăng lên gấp đôi?

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức lãi kép:$A = A_0 \times (1 + r)^n$
• Lấy logarit để tìm$n$:$n = \dfrac{\log (A/A_0)}{\log(1 + r)}$
• Các quy tắc tính toán logarit:
  -$\log a^b = b\log a$
  -$\log(ab) = \log a + \log b$
  -$\log (a/b) = \log a - \log b$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Tìm số năm để đạt giá trị mục tiêu (đã trình bày ở trên).
• Tìm lãi suất khi biết thời gian và số tiền cuối cùng:$r = (A/A_0)^{1/n} - 1$
• Tìm giá trị ban đầu hoặc giá trị cuối cùng khi biết các thông số còn lại:$A_0 = A / (1 + r)^n$hoặc$A = A_0 \times (1 + r)^n$
• Ứng dụng vào các quá trình tự nhiên: phân rã chất phóng xạ, tăng trưởng/suy giảm dân số,...

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

8. Bài tập thực hành

- Bài 1: Cho biết một khoản tiền 5 triệu đồng được gửi vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm. Sau bao lâu, số tiền đạt 10 triệu đồng?
- Bài 2: Số dân một làng năm 2000 là 8000 người. Mỗi năm dân số tăng 3%. Hỏi đến năm nào dân số đạt 16.000 người?
- Bài 3: Một chất phóng xạ có khối lượng 50 gam, mỗi năm khối lượng giảm còn 85%. Sau bao lâu thì khối lượng còn lại dưới 10 gam?
Bạn hãy trình bày lời giải chi tiết tương tự các ví dụ đã học.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Cẩn thận khi chuyển đổi tỷ lệ phần trăm sang số thập phân ($10\% = 0,10$).
• Sử dụng đúng biểu thức logarit:$\log a^b = b\log a$.
• Kiểm tra kỹ kết quả: Số năm tìm được có hợp lý với thực tế không.
• Nếu số năm lẻ, cân nhắc làm tròn phù hợp với đề bài (theo tháng, hoặc theo năm gần nhất).
• Dùng đúng logarit thập phân (log cơ số 10), trừ khi đề yêu cầu khác.