1. Giới thiệu về bài toán xác định biến cố hợp và biến cố giao

Trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt ở phần Xác suất, kiến thức về biến cố hợp (ký hiệu$A \cup B$) và biến cố giao (ký hiệu$A \cap B$) đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán xác suất phức tạp. Việc hiểu rõ khái niệm và cách xác định các biến cố này không chỉ giúp học sinh giải được nhiều dạng bài toán trong các đề kiểm tra, thi học kỳ mà còn là nền tảng cho phần xác suất ở các lớp cao hơn.

2. Đặc điểm của bài toán xác định biến cố hợp và biến cố giao

• Bài toán thường cho một phép thử hoặc một tình huống có thể xảy ra nhiều kết quả.
• Đề bài yêu cầu mô tả hoặc xác định biến cố hợp ($A \cup B$) hoặc biến cố giao ($A \cap B$) từ các biến cố $A, B$ đã cho theo ngữ cảnh thực tế.
• Có thể kết hợp với các phép toán khác trên biến cố như hiệu, bổ sung, hoặc các biến cố độc lập.

3. Chiến lược tổng thể để giải bài toán xác định biến cố hợp và biến cố giao

- Đọc kỹ đề bài, phân tích tình huống thực tế và xác định tập các kết quả có thể của phép thử.
- Hiểu rõ định nghĩa, ký hiệu và ý nghĩa của từng loại biến cố.
- Xác định rõ mỗi biến cố $A$,$B$tương ứng với những kết quả nào.
- Dùng sơ đồ Ven, bảng kết quả, hoặc phân tích liệt kê để xác định biến cố hợp hoặc giao một cách chính xác.
- Chuyển yêu cầu bài toán thành ký hiệu toán học để thuận tiện cho quá trình giải.

4. Các bước giải chi tiết kèm ví dụ minh họa

Giả sử:
Phép thử: Gieo một con súc sắc 6 mặt, các mặt được đánh số từ 1 đến 6.
Biến cố $A$: "Ra số chẵn"
Biến cố $B$: "Ra số lớn hơn 3"

• Bước 1: Liệt kê không gian mẫu$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
• Bước 2: Liệt kê các kết quả của từng biến cố:
  -$A = \{2, 4, 6\}$
  -$B = \{4, 5, 6\}$
• Bước 3: Xác định biến cố hợp$A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$.
  => "Ra số chẵn hoặc số lớn hơn 3".
• Bước 4: Xác định biến cố giao$A \cap B = \{4, 6\}$.
  => "Ra số vừa chẵn vừa lớn hơn 3".

Chú ý phân tích rõ mỗi bước, tránh nhầm lẫn giữa hợp và giao (hợp là lấy tất cả các kết quả thuộc ít nhất một trong hai biến cố, giao là các kết quả thuộc đồng thời cả hai biến cố).

5. Công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Biến cố hợp:$A \cup B =$tập hợp các kết quả thuộc$A$,$B$hoặc cả hai.
• Biến cố giao:$A \cap B =$tập hợp các kết quả thuộc cả $A$và $B$.
• Nếu biết xác suất:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Sử dụng sơ đồ Ven để minh họa trực quan các phép toán trên biến cố.

6. Các biến thể thường gặp và điều chỉnh chiến lược

- Khi đề bài mở rộng hơn 2 biến cố ($A$,$B$,$C$...), hãy xét từng cặp, có thể tổng quát hóa với công thức xác suất hợp nhiều biến cố.
- Trường hợp biến cố độc lập/không độc lập: phân biệt được điều kiện để xác định xác suất giao hợp biến cố chính xác.
- Có thể kết hợp với biến cố bổ sung$\bar{A}$ để xác định các trường hợp phủ định.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Ví dụ: Có 1 bộ bài Tây chuẩn gồm 52 lá. Gọi$A$: "Rút được lá bích";$B$: "Rút được lá hình người" (J, Q, K). Xác định các kết quả thuộc biến cố:
a)$A \cup B$
b)$A \cap B$

• Không gian mẫu$\Omega$: 52 lá bài
• -$A$: 13 lá bích
  -$B$: 12 lá hình người (mỗi chất có 3 lá J, Q, K): tổng 12 lá
• -$A \cup B$: gồm các lá là bích hoặc hình người. Là 13 lá bích cộng với các lá hình người không thuộc bích (J, Q, K rô, cơ, tép: 9 lá)
  => Tổng:$13 + 9 = 22$lá.
• -$A \cap B$: các lá vừa là bích vừa là hình người (tức là J bích, Q bích, K bích): 3 lá.

8. Bài tập thực hành

1. Gieo 2 đồng xu. A: “Tất cả đều xuất hiện mặt sấp”. B: “Có ít nhất 1 mặt ngửa”. Xác định$A \cup B$,$A \cap B$.
2. Rút 1 lá bài từ bộ 52 lá. A: “Rút được lá cơ”. B: “Rút được lá số nhỏ hơn 5”. Xác định$A \cup B$,$A \cap B$.
3. Gieo 1 con súc sắc. A: “Ra số lẻ”. B: “Ra số nhỏ hơn 4”. Xác định$A \cup B$,$A \cap B$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Cần đọc thật kỹ đề bài để tránh xác định nhầm biến cố hợp và giao.
• Luôn liệt kê không gian mẫu rõ ràng.
• Nên minh họa bằng sơ đồ Ven để trực quan hơn.
• Không bỏ sót kết quả nào thuộc hợp hoặc giao.
• Hiểu đúng ý nghĩa toán học và ý nghĩa thực tế của từng biến cố.