Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán Xác định tính độc lập của hai biến cố (Toán 11)

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán Xác định tính độc lập của hai biến cố

Bài toán 'Xác định tính độc lập của hai biến cố' là dạng toán cơ bản trong chương Xác suất lớp 11. Đề bài thường yêu cầu kiểm tra hoặc chứng minh hai biến cố độc lập, dựa trên các thông tin xác suất cho trước. Dạng này xuất hiện nhiều trong đề kiểm tra cũng như các đề thi học kỳ, đề thi THPT Quốc gia, bởi tính ứng dụng thực tế và bản chất logic. Việc nắm vững và hiểu chiến lược giải quyết giúp các bạn tự tin khi gặp bài toán này. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập trên hệ thống.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • - Đề bài thường nhắc tới hai biến cố AA,BBvà có thể cho biết xác suất củaAA,BB,A∩BA \cap B, hoặc các biến cố phụ liên quan.
    - Từ khóa: “Xác định tính độc lập”, “biến cố độc lập”, “kiểm tra A và B độc lập”,…

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

  • - Công thức xác định tính độc lập:AAvà BB độc lập⇔P(A∩B)=P(A)⋅P(B)\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
    - Kỹ năng tính toán xác suất cơ bản, xác suất giao, hợp, và xác suất có điều kiện;
    - Nhận biết biến cố phụ và tính xác suất liên quan đến biến cố phụ.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

    - Đọc kỹ đề để nhận biết hai biến cố cần xét.
    - Xác định các dữ liệu xác suất cho sẵn:P(A)P(A),P(B)P(B),P(A∩B)P(A \cap B)hoặc các biến cố khác.
    - Hiểu rõ yêu cầu: kiểm tra/khẳng định tính độc lập hay tìm điều kiện để độc lập.

    3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

    - Xác định công thức sẽ dùng: thường là P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B);
    - Kiểm tra các xác suất thiếu và bổ sung bằng các định lý xác suất cơ bản nếu cần;
    - Dự đoán kết quả: nếu đề cho số liệu, ước lượng xem phép so sánh sẽ như thế nào để phát hiện lỗi sớm.

    3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

    - Tính toán các xác suất theo từng bước rõ ràng;
    - Áp dụng công thức độc lập đúng chỗ;
    - Đưa ra kết luận và kiểm tra lại (có thể thay số ngược lại để so sánh hoặc đối chiếu kết quả với dữ kiện gốc để đảm bảo hợp lý).

    4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • - Áp dụng trực tiếpP(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), so sánh hai vế;
    - Phù hợp khi đề cho sẵn các xác suất;
    - Ưu điểm: đơn giản, dễ kiểm tra. Nhược điểm: chậm nếu phải tính nhiều xác suất phụ.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • - Sử dụng cách biểu diễn xác suất bằng bảng hoặc các công cụ hỗ trợ tư duy;
    - Nhận diện nhanh trường hợp đồng thời hoặc loại trừ (nếu các biến cố không giao nhau, chắc chắn không độc lập trừ khi một xác suất bằng 0);
    - Chú ý với các biến cố độc lập véc-nơ (trong bảng tổ hợp), mẹo là sử dụng lập luận đối xứng và kiểm tra các cặp biến cố phụ.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Đề bài: ChoP(A)=0,3P(A) = 0{,}3,P(B)=0,5P(B) = 0{,}5,P(A∩B)=0,15P(A \cap B) = 0{,}15. Hai biến cố AAvà BBcó độc lập không?

  • Bước 1: Áp dụng công thức độc lập:
    P(A∩B)=?P(A)⋅P(B)P(A \cap B) \stackrel{?}{=} P(A) \cdot P(B)
  • TínhP(A)⋅P(B)=0,3×0,5=0,15P(A) \cdot P(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15
  • So sánh:P(A∩B)=0,15=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = 0{,}15 = P(A) \cdot P(B).
    Kết luận:AAvà BB độc lập.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

    Đề bài: Một hộp có 4 bi đỏ, 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. GọiAAlà biến cố “lấy được 2 bi đỏ”,BBlà biến cố “ít nhất 1 bi là đỏ”.AAvà BBcó độc lập không?

  • TínhP(A)P(A): Số cách lấy 2 bi đỏ là (42)=6\binom{4}{2}=6.
    Tổng số cách lấy 2 bi là (102)=45\binom{10}{2}=45.
    NênP(A)=645=215P(A)=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}.
  • TínhP(B)P(B): Số trường hợp không có bi đỏ: chỉ toàn bi xanh,(62)=15\binom{6}{2}=15. Vậy số trường hợp ít nhất một bi đỏ là 45−15=3045-15=30,P(B)=3045=23P(B)=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.
  • TínhP(A∩B)P(A \cap B): Lấy được 2 bi đỏ cũng chính là “lấy được 2 bi đỏ” và “có ít nhất 1 bi đỏ”, nênP(A∩B)=P(A)=215P(A \cap B)=P(A)=\frac{2}{15}.
  • Kiểm tra P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)?
    215=?215⋅23=445\frac{2}{15} \stackrel{?}{=} \frac{2}{15} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{45}.
    Ta thấy 215≠445\frac{2}{15} \neq \frac{4}{45}.
    Kết luận: AAvà BB không độc lập.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • - Biến cố phụ (A′A'hoặcB′B');
    - Xét 3 biến cố độc lập từng đôi;
    - Tìm điều kiện để hai biến cố độc lập (thường ẩn số trong xác suất).
    Cần thay đổi cách tiếp cận tuỳ vào dữ kiện, song luôn dựa trên công thức gốcP(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B).

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Quên kiểm tra điều kiện xác suất (tổng không vượt quá 1);
    - Nhầm lẫn giao với hợp;
    - Áp dụng sai công thức cần thiết (không đúng cho biến cố có liên quan logic).

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Sai sót khi nhân/ chia phân số;
    - Làm tròn số không chuẩn xác;
    - Không kiểm tra lại bằng cách thay ngược kết quả.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Bạn có thể luyện tập với hơn 42.226+ bài tập cách giải Xác định tính độc lập của hai biến cố miễn phí trên hệ thống chỉ trong 1 click, hoàn toàn không cần đăng ký. Bên cạnh đó, hệ thống sẽ ghi lại tiến độ và giúp bạn đánh giá sự tiến bộ, giúp bạn thành thạo phương pháp giải bài toán Xác định tính độc lập của hai biến cố miễn phí.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • - Mỗi tuần dành 2-3 buổi, mỗi buổi chọn 10 bài tập từ dễ đến nâng cao;
    - Sau mỗi tuần đánh giá tổng kết: số bài đúng trên tổng số bài đã làm;
    - Chú ý ôn lại lý thuyết trước khi luyện tập chuyên sâu;
    - Linh hoạt thay đổi dạng bài để củng cố lý thuyết và thành thạo phương pháp.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".