Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây lớp 11: Hướng dẫn từng bước và mẹo luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây thường gặp trong chương trình Toán lớp 11 và cả các đề kiểm tra, thi THPT quốc gia. Đặc điểm nổi bật là các tình huống có trình tự các sự kiện liên tiếp, phụ thuộc hoặc độc lập, cần minh họa và tính toán xác suất xảy ra một hoặc nhiều biến cố.

Việc vận dụng sơ đồ hình cây giúp học sinh tổ chức thông tin bài toán, minh họa trực quan các khả năng, từ đó dễ dàng áp dụng các công thức xác suất phù hợp. Dạng bài này xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra chương VIII – Các quy tắc tính xác suất, đặc biệt trong bài Công thức nhân xác suất. Làm thành thạo dạng này sẽ giúp học sinh vững vàng kiến thức Toán xác suất lớp 11.

Bạn có thể luyện tập miễn phí với 100+ bài tập cách giải Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây miễn phí, không cần đăng ký!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dấu hiệu nhận biết:

  • Đề bài có các sự kiện diễn ra nối tiếp, phụ thuộc hoặc độc lập
  • Đòi hỏi tính xác suất xảy ra một biến cố hoặc nhiều biến cố kết hợp
  • Các từ khóa: "lần lượt", "liên tiếp", "bước", "rút ra lại", "xảy ra rồi lại xảy ra", v.v.

    • Dạng này khác biệt với dạng tính xác suất đơn lẻ (tổng hợp, phân tích) ở chỗ nó nhấn mạnh vào phân nhánh các khả năng, thường dùng "cây xác suất" để mô tả.

    2.2 Kiến thức cần thiết

  • Công thức xác suất nhân và cộng:P(AextvaˋB)=P(A)⋅P(B∣A)P(A ext{và} B) = P(A) \cdot P(B|A),P(AexthoặcB)=P(A)+P(B)P(A ext{hoặc} B) = P(A) + P(B)nếuA,BA, Bxung khắc.
  • Định lý xác suất toàn phần: P(B)=∑i=1nP(Ai)⋅P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) \cdot P(B|A_i).
  • Kỹ năng vẽ và đọc sơ đồ hình cây.
  • Liên hệ tới các quy tắc tổ hợp (chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị)
  • Biết xác định biến cố và diễn đạt bằng toán học.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

    Khi đọc đề, chú ý các cụm từ chỉ diễn biến nối tiếp. Xác định rõ bài yêu cầu xác suất biến cố nào, các thông tin cho sẵn như số lượng phần tử, các thao tác từng bước.

    3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

    Chọn lập sơ đồ hình cây để minh họa tất cả các trường hợp có thể. Sắp xếp các nhánh theo lần lượt các sự kiện, dự đoán biến cố đích nằm ở nhánh nào. Đặt giả thiết về kết quả dự đoán để kiểm tra khi tính toán.

    3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

    Lần lượt đi theo từng nhánh của cây, áp dụng công thức xác suất. Chú ý tính toán cẩn thận tỉ lệ phần tử, kiểm tra tổng xác suất các nhánh phải bằng 1 để đảm bảo hợp lý.

    4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

    Vẽ đầy đủ sơ đồ hình cây thể hiện từng nhánh tương ứng từng khả năng. Cộng các xác suất của các nhánh dẫn tới biến cố cần tìm. Ưu điểm: trực quan, dễ áp dụng; nhược: nhiều nhánh thì vẽ lâu, dễ nhầm.

    4.2 Phương pháp nâng cao

    Nhóm các nhánh tương tự, dùng ký hiệu toán học để rút gọn (tổng hợp nhanh nhánh đối xứng); áp dụng định lý xác suất toàn phần, công thức nhân xác suất, hoặc xác suất đối bổ sung nếu cần. Mẹo: Chỉ vẽ một phần cây đối với những nhánh nổi bật cần xét.

    5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Ví dụ: Có 1 hộp chứa 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Rút lần lượt 2 bi không hoàn lại. Tính xác suất rút được cả 2 bi đỏ.

  • Kí hiệu:AAlà biến cố "rút được 2 bi đỏ".
  • Sơ đồ hình cây gồm: Lần 1 (bi đỏ/35\frac{3}{5}hoặc bi xanh/25\frac{2}{5}), lần 2 (nếu lần 1 là đỏ, còn 2 đỏ + 2 xanh: xác suất đỏ tiếp là 24\frac{2}{4})
  • Do chỉ quan tâm 2 bi đỏ:P(A)=35×24=310P(A) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}
  • Giải thích: Xác suất lấy đỏ ở lần 1 là 35\frac{3}{5}, lần 2 còn lại 2 đỏ/4 bi =24\frac{2}{4}.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

    Cho hộp có 4 bi đỏ, 3 bi xanh, 2 bi vàng. Lấy lần lượt 3 bi không hoàn lại. Tính xác suất lấy được đủ 3 màu.

  • Có nhiều cách tiếp cận: Vẽ cây đầy đủ, nhóm các nhánh cùng xác suất, dùng chỉnh hợp.
  • Dùng xác suất toàn phần:
  • Chọn 1 bi đỏ, 1 xanh, 1 vàng theo thứ tự (vì không hoàn lại): \begin{align*} P &= \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} + \text{hoán vị các màu cho 3 lần rút} \\ &= 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} \times \frac{2}{7} = \frac{6 \times 4 \times 3 \times 2}{9 \times 8 \times 7} = \frac{144}{504} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \end{align*}
  • Cách giải nhanh: số cách chọn 3 bi khác màu / số cách chọn 3 bi

    • 6. Các biến thể thường gặp

    - Bài toán có hoàn lại/không hoàn lại
    - Biến cố lấy được ít nhất/một phần/tất cả là đối tượng nào đó
    - Kết hợp xác suất với các phép đếm tổ hợp
    Lưu ý phải vẽ hoặc ghi rõ từng bước/phép tính cho từng biến thể.

    7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Chọn sai nhánh trên cây hoặc không vẽ đủ trường hợp
  • - Áp dụng công thức nhân/tổng sai điều kiện
  • - Giải pháp: Lập bảng các trường hợp trước khi vẽ cây.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Nhầm số lượng phần tử/bước chia
  • - Làm tròn số chưa đúng
  • - Kiểm tra lại bằng tổng xác suất tất cả các nhánh phải bằng 1.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập 100+ bài tập cách giải Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây miễn phí ngay tại đây, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Theo dõi tiến độ cá nhân và nâng cao kỹ năng giải toán từng ngày.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Tuần 1-2: Ôn công thức, làm bài tập cơ bản, vẽ sơ đồ hình cây.
  • Tuần 3-4: Thực hành bài tập nâng cao, làm các biến thể bài toán.
  • Tuần 5 trở đi: Luyện tập tổng hợp, giải đề kiểm tra thử; tự kiểm tra tiến độ qua số bài giải đúng/sai.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".