Chiến lược giải bài toán Biểu diễn hình học không gian bằng hình chiếu lớp 11

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Biểu diễn hình học không gian bằng hình chiếu là một trong những chủ đề quan trọng của Hình học lớp 11. Dạng này yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng cách chiếu các điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian lên một mặt phẳng (thường là mặt phẳng tọa độ hoặc mặt phẳng tuỳ chọn) để giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí, kích thước, tỉ lệ hay góc giữa các đối tượng hình học.

• - Thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, đề thi học kỳ, đề thi thử THPT quốc gia.
• - Là nền tảng để phát triển tư duy hình học không gian và áp dụng vào các bài toán thực tế, các chủ đề nâng cao hơn ở các lớp tiếp theo.
• - Luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập cách giải Biểu diễn hình học không gian bằng hình chiếu ngay trên hệ thống.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

### 2.1 Nhận biết dạng bài

• - Đề bài xuất hiện các từ khóa: 'hình chiếu', 'lên mặt phẳng', 'vuông góc', 'tọa độ hình chiếu', 'tìm hình chiếu của điểm/đoạn thẳng...'.
• - Đề yêu cầu xác định hình chiếu của đối tượng hình học trong không gian lên một mặt phẳng đã biết hoặc ngược lại.
• - Phân biệt với các dạng bài tìm tọa độ, chứng minh song song/vuông góc không qua phép chiếu.

### 2.2 Kiến thức cần thiết

• - Công thức hình chiếu vuông góc: Nếu$M(x_0, y_0, z_0)$, hình chiếu lên mặt phẳng$Ax + By + Cz + D = 0$là $H(x_1, y_1, z_1)$với:

$\frac{x_1 - x_0}{A} = \frac{y_1 - y_0}{B} = \frac{z_1 - z_0}{C} = -\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{A^2 + B^2 + C^2}$

• - Định lý về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
• - Biết xác định mặt phẳng chứa hình chiếu, phân tích hình học không gian bằng tư duy hình học và đại số.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

#### 3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• - Đọc kỹ yêu cầu đề bài, gạch chân các từ khoá ('hình chiếu', 'vuông góc', 'tọa độ',...)
• - Xác định các đối tượng cần chiếu và mặt phẳng/mặt cần chiếu lên.
• - Tóm tắt nhanh dữ liệu đầu bài.

#### 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• - Xác định phương pháp chính (ví dụ sử dụng công thức hình chiếu, phương pháp hình học hay tọa độ).
• - Dự đoán kết quả để đối chiếu.

#### 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• - Áp dụng lần lượt công thức, định lý đã biết.
• - Lập luận rõ ràng từng bước, kiểm tra logic các kết quả phụ.
• - Rà soát kết quả và so sánh với dự đoán ban đầu.

4. Các phương pháp giải chi tiết

#### 4.1 Phương pháp cơ bản

• - Áp dụng định nghĩa, công thức chiếu vuông góc cơ bản.
• - Sử dụng hệ tọa độ để minh họa và tính toán.
• - Nên dùng khi đề bài không quá phức tạp hoặc dữ liệu đã chuẩn bị sẵn.

#### 4.2 Phương pháp nâng cao

• - Sử dụng phép toán vectơ, giải hệ phương trình tọa độ nhanh gọn.
• - Phân tích đường thẳng/vectơ pháp tuyến để tối ưu quá trình tính toán.
• - Ghi nhớ các công thức đặc biệt và dấu hiệu nhanh để chọn cách làm tối ưu.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

#### 5.1 Bài tập cơ bản

Cho điểm$A(1,2,3)$và mặt phẳng$(P): 2x - 2y + z - 4 = 0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$.

Lời giải chi tiết:

- Áp dụng công thức hình chiếu:

$\frac{x_1 - 1}{2} = \frac{y_1 - 2}{-2} = \frac{z_1 - 3}{1} = -\frac{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 3 - 4}{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = -\frac{2 - 4 + 3 - 4}{9} = -\frac{-3}{9} = \frac{1}{3}$

⇒$x_1 - 1 = 2 imes \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \Rightarrow x_1 = \frac{5}{3}$

$y_1 - 2 = -2 imes \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \Rightarrow y_1 = \frac{4}{3}$

$z_1 - 3 = 1 imes \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \Rightarrow z_1 = \frac{10}{3}$

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của$A$lên$(P)$là $\left(\frac{5}{3}; \frac{4}{3}; \frac{10}{3}\right)$. Mỗi bước đều thể hiện rõ cách lấy dữ liệu, áp dụng công thức và tính toán chi tiết.

#### 5.2 Bài tập nâng cao

Cho hình chóp$S.ABCD$có đáy$ABCD$là hình vuông cạnh$a$,$SA$vuông góc với đáy và $SA = a$. Gọi$M$là trung điểm$BC$,$H$là hình chiếu vuông góc của$S$xuống$(ABM)$. Tính độ dài$SH$.

Lời giải tóm tắt: - Đặt hệ trục tọa độ, xác định tọa độ các điểm, viết phương trình mặt phẳng$(ABM)$. Dùng công thức hình chiếu để tìm tọa độ $H$, sau đó tính$SH$.

Cách giải này giúp luyện tập tư duy không gian, vận dụng phép chiếu và phối hợp nhiều kiến thức hình học.

6. Các biến thể thường gặp

• - Hình chiếu của đoạn thẳng, đa giác, hình tròn trong không gian lên các mặt phẳng khác nhau.
• - Kết hợp với hình học giải tích (tìm giao điểm, khoảng cách khi xét hình chiếu).
• - Đề thi có thể biến tấu, yêu cầu chứng minh tính chất sau khi chiếu hoặc kết hợp kiến thức tỷ số.

Khi gặp biến thể, hãy điều chỉnh chiến lược bằng cách phân tích kỹ yêu cầu, chọn phương pháp thích hợp nhất và chú ý kiểm tra kết quả.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

#### 7.1 Lỗi về phương pháp

• - Nhầm lẫn giữa chiếu vuông góc và chiếu song song.
• - Sử dụng sai công thức hoặc áp dụng không đúng hướng vectơ pháp tuyến.
• - Không kiểm tra bước trung gian, dẫn tới kết quả sai.

#### 7.2 Lỗi về tính toán

• - Sai số khi thay số, lấy nhầm dấu$+$/$-$.
• - Làm tròn số quá sớm dẫn đến kết quả không chính xác.
• - Không kiểm tra lại bước cuối cùng.

=> Luôn đối chiếu đáp án cuối cùng với dự đoán, tận dụng tính đối xứng hoặc tính chất đặc biệt của hình học không gian để soát lỗi.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 42.226+ bài tập cách giải Biểu diễn hình học không gian bằng hình chiếu miễn phí trên hệ thống. Không cần đăng ký, chỉ cần chọn bài và bắt đầu luyện tập. Hệ thống tự động lưu tiến độ và đề xuất bài phù hợp để bạn cải thiện từng ngày.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• - Chia thời gian ôn tập từng tuần theo các chủ đề nhỏ (lý thuyết, cơ bản, nâng cao, biến thể, tổng hợp).
• - Đặt mục tiêu điểm bài tập, số lượng bài cần hoàn thành mỗi tuần.
• - Cuối mỗi tuần, tự đánh giá tiến trình và bổ sung các phần còn yếu.