Blog

Lớp 11

Chiến lược giải Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit lớp 11

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
8 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng bài toán "Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit" thường gặp trong chương trình toán lớp 11, xuất hiện dày đặc ở các đề kiểm tra và đề thi. Dạng bài này đặc trưng bởi việc mô tả các hiện tượng thực tiễn như tăng trưởng dân số, phóng xạ, lãi kép… bằng mô hình hàm mũ hoặc hàm logarit. Việc thành thạo kỹ năng giải quyết dạng toán này không chỉ giúp học sinh đạt điểm số cao mà còn tạo nền tảng vững chắc cho các dạng toán khó hơn ở lớp 12 hoặc thi đại học. Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226 bài tập thuộc chuyên đề này.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dạng bài thường có các đặc điểm:

  • - Có từ khóa như "tăng trưởng theo cấp số nhân", "giảm theo tỷ lệ phần trăm cố định", "mô hình logarit", "thời gian gấp đôi", "phân rã phóng xạ"...
  • - Đề bài chứa dữ liệu về thời gian, số lượng ban đầu, tỷ lệ tăng/giảm, hoặc yêu cầu tìm thời điểm đạt giá trị nhất định.
  • - Đôi khi đề bài dùng biểu thức toán học có dạngy=y0aty = y_0 a^thoặcy=y0ekty = y_0 e^{kt}(hàm số mũ), hoặct=aimesextlogb(y/y0)t = a imes ext{log}_b(y/y_0)(hàm logarit).

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

    Bạn cần vững vàng những điểm sau:

  • - Các công thức hàm số mũ:y=y0aty = y_0a^t,y=y0ekty = y_0e^{kt}.
    • Hình minh họa: Đồ thị so sánh hai hàm số mũ: <span class= y=y0aty = y_0a^t với a=2, y0=1a=2,\ y_0=1 và y=y0ekty = y_0e^{kt} với k=0.7, y0=1k=0.7,\ y_0=1 trên khoảng thời gian tt từ 0 đến 5." title="Hình minh họa: Đồ thị so sánh hai hàm số mũ: y=y0aty = y_0a^t với a=2, y0=1a=2,\ y_0=1 và y=y0ekty = y_0e^{kt} với k=0.7, y0=1k=0.7,\ y_0=1 trên khoảng thời gian tt từ 0 đến 5." class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />
    Đồ thị so sánh hai hàm số mũ: y=y0aty = y_0a^t với a=2, y0=1a=2,\ y_0=1 và y=y0ekty = y_0e^{kt} với k=0.7, y0=1k=0.7,\ y_0=1 trên khoảng thời gian tt từ 0 đến 5.
  • - Các công thức lôgarit:t=extln(y/y0)kt = \frac{ext{ln} (y/y_0)}{k},t=extloga(y/y0)nt = \frac{ext{log}_a(y/y_0)}{n}.
  • - Tính chất logarit:extlogabc=cextlogabext{log}_a b^c = cext{log}_a bvà aextlogab=ba^{ext{log}_a b} = b.
  • - Kỹ năng giải phương trình, biến đổi logarit và mũ.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • - Xác định mô hình cần sử dụng: hàm mũ hay hàm logarit.
  • - Đánh dấu các dữ kiện đề cho (giá trị ban đầu, tỷ lệ tăng/giảm, thời gian, giá trị cần tìm).
  • - Định hướng biến số, ẩn số cần tính.

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • - Chọn biểu thức phù hợp:y=y0aty = y_0 a^tcho tăng trưởng,y=y0e−kty = y_0 e^{-kt}cho phân rã, logarit cho tìm thời gian.
  • - Sắp xếp thứ tự các bước: giải phương trình, biến đổi logarit, kiểm tra kết quả cuối.
  • - Dự đoán kết quả xem hợp lý không (ví dụ: thời gian âm là bất hợp lý).

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • - Thay số cẩn thận vào công thức.
  • - Vận dụng đúng quy tắc logarit và mũ trong tính toán.
  • - Kiểm tra lại đáp số, giải thích ý nghĩa thực tế nếu cần.
    • Hình minh họa: Đồ thị minh họa hàm mũ tăng trưởng y = 100·1.05^t và hàm mũ phân rã y = 100·e^{-0.1t}, cùng các bước giải logarit để tìm thời gian t khi y đạt giá trị cho trước (y=200 cho tăng trưởng, y=20 cho phân r
    Đồ thị minh họa hàm mũ tăng trưởng y = 100·1.05^t và hàm mũ phân rã y = 100·e^{-0.1t}, cùng các bước giải logarit để tìm thời gian t khi y đạt giá trị cho trước (y=200 cho tăng trưởng, y=20 cho phân r

    4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

    - Sử dụng công thức tổng quáty=y0aty = y_0 a^thoặcy=y0ekty = y_0 e^{kt}rồi biến đổi tìm ẩn. Ưu điểm: dễ áp dụng, phù hợp mọi học sinh. Hạn chế: nếu đề nâng cấp, dễ mất nhiều thời gian.

    4.2 Phương pháp nâng cao

    - Kỹ thuật tách logarit để xử lý bài toán nhiều bước, nhớ nhanh công thức logarit đổi cơ số:log⁡ab=ln⁡bln⁡a\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}.Chú ý mẹo: tìm tỷ lệ gấp đôi/giảm nửa dùngt=ln⁡2kt = \frac{\ln 2}{k}.

    5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Ví dụ: Số vi khuẩn trong một bình thí nghiệm ban đầu là 500500, cứ sau mỗi22giờ thì tăng gấp đôi. Hỏi sau88giờ số vi khuẩn là bao nhiêu?

  • Phân tích:y0=500y_0 = 500, thời giant=8t = 8(giờ), chu kỳ gấp đôi22h⇒a=2t/2\Rightarrow a = 2^{t/2}.
  • Lời giải:y=500×28/2=500×24=500×16=8000y = 500 \times 2^{8/2} = 500 \times 2^4 = 500 \times 16 = 8000(vi khuẩn).
  • Giải thích: Mỗi 2 giờ số vi khuẩn gấp đôi, nên sau 8 giờ là 242^{4}lần tăng.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

    Giả sử một chất phóng xạ có khối lượng ban đầu15g15g. Sau33năm còn lại12g12g. Hỏi sau bao lâu thì còn lại3g3g?

  • Mô hình:y=y0e−kty = y_0 e^{-kt}
  • Bước 1: Tìmkk:12=15e−3k⇒e−3k=1215=0.8⇒−3k=ln⁡0.8⇒k=−ln⁡0.8312 = 15e^{-3k} \Rightarrow e^{-3k} = \frac{12}{15} = 0.8 \Rightarrow -3k = \ln 0.8 \Rightarrow k = -\frac{\ln 0.8}{3}
  • Bước 2: Tìm thời giantt để còn3g3g \Rightarrow 3 = 15e^{-kt} \Rightarrow e^{-kt} = 0.2 \Rightarrow -kt = \ln 0.2 \Rightarrow t = -\frac{\ln 0.2}{k}$
  • Bước 3: Thay giá trị kkvừa tìm được để tính ratt(tính nhẩm hoặc bằng máy tính).
    • Hình minh họa: Đường cong phóng xạ m(t)=15 e^{-λt} với λ = (1/3) ln(15/12) ≈0.0744 năm⁻¹, minh họa khối lượng giảm từ 15g ban đầu xuống 12g sau 3 năm và thời điểm còn lại 3g (≈21.6 năm)
    Đường cong phóng xạ m(t)=15 e^{-λt} với λ = (1/3) ln(15/12) ≈0.0744 năm⁻¹, minh họa khối lượng giảm từ 15g ban đầu xuống 12g sau 3 năm và thời điểm còn lại 3g (≈21.6 năm)
  • So sánh: Nếu giải bằng công thức chung hoặc lọc qua bảng logarit tăng tốc độ giải.

    • 6. Các biến thể thường gặp

  • - Đổi mô hình: tăng/giảm dân số, lãi suất, phân rã phóng xạ, làm lạnh nguội chất...
  • - Yêu cầu tìm thời gian đạt giá trị gấp/nửa; tìm tỷ lệ tăng/giảm; tìm giá trị ban đầu.
  • - Điều chỉnh chiến lược: luôn biến đổi hàm số phù hợp, nhớ mẹo logarit khi giải phương trình.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Sai chọn mô hình (mũ/logarit) khi đọc đề.
  • - Áp dụng sai công thức, quên đổi cơ số logarit.
  • - Cách khắc phục: luôn xác định dạng đề và hệ số trước khi giải.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Sai số máy tính, nhầm đơn vị thời gian.
  • - Lỗi làm tròn gây sai kết quả cuối.
  • - Luôn kiểm tra lại đáp số bằng lặp ngược đặt ngược số vào công thức.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập ngay kho 42.226+ bài tập cách giải Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập lập tức. Hệ thống tự động theo dõi tiến độ và giúp bạn cải thiện kỹ năng giải toán mỗi ngày.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • - Tuần 1: Nắm chắc kiến thức, giải 10 bài cơ bản mỗi ngày.
  • - Tuần 2: Chuyển sang các bài logarit, bài toán mô hình thực tế; mỗi ngày 5 bài nâng cao.
  • - Tuần 3: Ôn tập kết hợp, làm đề tổng hợp luyện kỹ năng nhận diện đề.
  • - Đặt mục tiêu đạt điểm tối đa ở các bài kiểm tra cuối kỳ.
  • - Đánh giá tiến bộ qua kết quả luyện tập thực tế.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".