Chiến lược giải quyết bài toán "Bài 26. Khoảng cách" lớp 11: Phương pháp, kỹ thuật, luyện tập và ví dụ minh họa

1. Giới thiệu về bài toán "Khoảng cách" và tầm quan trọng

Bài toán "Khoảng cách" là một trong những chuyên đề trọng tâm của chương VII (Quan hệ vuông góc trong không gian) - Toán 11. Các bài toán này yêu cầu tính khoảng cách giữa điểm và mặt phẳng, giữa điểm và đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa hai mặt phẳng. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ cũng như các kỳ thi lớn (Thi THPT Quốc gia...). Việc nắm vững cách giải bài toán khoảng cách sẽ giúp học sinh phát triển tư duy hình học không gian, rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, suy luận logic và tính toán chính xác.

2. Đặc điểm của các bài toán về khoảng cách

Các bài toán khoảng cách trong không gian thường có những đặc điểm sau:

• Có rất nhiều dạng: khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, giữa hai đường thẳng chéo nhau, giữa hai mặt phẳng song song...
• Được khai thác dựa trên các tính chất vuông góc trong không gian.
• Yêu cầu xác định chính xác yếu tố hình học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) liên quan đến khoảng cách cần tìm.
• Thường liên quan tới việc dựng hình phụ hoặc tìm giao điểm vuông góc.

3. Chiến lược tổng thể giải quyết bài toán khoảng cách

Để giải các bài toán khoảng cách hiệu quả, cần thực hiện tuần tự theo các bước:

• Xác định đúng đối tượng khoảng cách (từ đâu đến đâu, loại khoảng cách nào).
• Vẽ hình chính xác và phân tích các yếu tố vuông góc liên quan.
• Sử dụng các phép chiếu vuông góc, dựng hình phụ phù hợp.
• Áp dụng các công thức và định lý thích hợp (tích vô hướng, thể tích hình hộp, hệ thức lượng trong tam giác vuông, ...).
• Kiểm tra lại các giả thiết và kết quả của bài toán.

4. Các bước giải với ví dụ minh họa

Ví dụ minh họa 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Cho hình chóp$S.ABC$có đáy là tam giác vuông cân tại$A$với$AB = AC = a$,$SA$vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABC)$và $SA = a$. Tính khoảng cách từ điểm$S$ đến mặt phẳng$(ABC)$.

Bước 1: Vẽ hình và xác định đối tượng khoảng cách cần tính.
Trong hình,$S$là đỉnh chóp;$(ABC)$là mặt phẳng đáy.

Bước 2: Phân tích yếu tố vuông góc.
Theo đề bài,$SA \perp (ABC)$nên khoảng cách từ $S$ đến$(ABC)$chính là đoạn thẳng$SA$.

Bước 3: Áp dụng công thức và tìm kết quả.
Ta có $SA = a$nên đáp số là $d(S, (ABC)) = a$.

Ví dụ minh họa 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$cạnh$a$. Tính khoảng cách giữa$AB'$và $BC'$.

Bước 1: Vẽ hình, xác định hai đường$AB'$,$BC'$nằm chéo nhau.

Bước 2: Tìm mặt phẳng chứa một đường và song song với đường còn lại.
Chọn mặt phẳng$(ABB'A')$chứa$AB'$.$BC'$song song với cạnh$A'B'$.

Bước 3: Lấy điểm$K$trên$AB'$sao cho$KK'$song song với$BC'$và $K'$trên mặt phẳng$(ABB'A')$.
$KK'$chính là khoảng cách cần tìm.

Bước 4: Tính toán
Trong hình lập phương với cạnh$a$,$KK'=a$(tự dựng hình và tính toán hoặc chứng minh hình học).
Vậy khoảng cách cần tìm là $a$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$tới mặt phẳng$(Ax + By + Cz + D = 0)$:
  $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
  $d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
  Với $Ax + By + Cz + D_1 = 0$, $Ax + By + Cz + D_2 = 0$.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau$d_1$và $d_2$:
  Gọi$\vec{a}$và $\vec{b}$là vectơ chỉ phương,$\vec{AB}$là vectơ nối hai điểm bất kỳ $A \in d_1, B \in d_2$:
  $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})|}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$
• Áp dụng định lý Pitago, định lý hàm số cos, hệ thức lượng tam giác vuông khi cần thiết.
• Chú ý các bài toán đặc biệt có thể sử dụng thể tích hình hộp (lập phương, lăng trụ) để tính khoảng cách.

6. Các biến thể bài toán và chiến lược điều chỉnh

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Tìm điểm$H$trên$d$sao cho$MH \perp d$và $MH$chính là khoảng cách.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Chọn điểm tùy ý trên một mặt rồi tìm hình chiếu vuông góc trên mặt kia.
- Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: Tìm hai mặt phẳng song song mỗi mặt chứa một đường, sử dụng các công thức hoặc dựng hình phụ.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập mẫu 1:

Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$có các cạnh$AB = a, AD = b, AA' = h$. Hãy tính khoảng cách từ điểm$A$tới mặt phẳng$(BCD')$.

Giải
Bước 1: Xác định mặt phẳng$(BCD')$tạo bởi ba điểm$B,C,D'$. Dựng hình chiếu$H$của$A$xuống mặt phẳng$(BCD')$.
Bước 2: Nhận thấy$A$ đối diện với$BCD'$qua mặt phẳng$(ADD'A')$, đường vuông góc từ $A$xuống$(BCD')$sẽ không theo phương trục$x, y, z$nào mà nằm chéo góc.

Ta có thể lấy tọa độ $A(0,0,0)$,$B(a,0,0)$,$C(a,b,0)$,$D'(0,b,h)$. Mặt phẳng$(BCD')$ đi qua$B$,$C$,$D'$.

Gọi phương trình mặt phẳng$(BCD')$:
Gọi$\vec{BC} = (0,b,0)$,$\vec{BD'} = (-a, b, h)$.

Tìm vectơ pháp tuyến$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD'} = (bh, 0, ab)$. Vậy phương trình mặt phẳng là:$bh(x-a) + ab(z-0) = 0 \implies bhx + abz = ab h$.
Khi đó, khoảng cách từ $A(0,0,0)$tới mặt phẳng là:

$d = \frac{|bh \cdot 0 + ab \cdot 0 - abh |}{\sqrt{(bh)^2 + (ab)^2}} = \frac{| -abh |}{\sqrt{a^2b^2+ b^2h^2}} = \frac{abh}{b\sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{a h}{\sqrt{a^2 + h^2}}$

Vậy đáp án là $\boxed{\dfrac{a h}{\sqrt{a^2 + h^2}}}$.

Bài tập mẫu 2:

Cho hình lăng trụ đứng$ABC.A'B'C'$với đáy$ABC$là tam giác đều cạnh$a$,$AA' = h$. Tính khoảng cách giữa$AB$và $A'C'$.

Giải
Hai đường này chéo nhau. Ta dựng mặt phẳng$(ABB'A')$chứa$AB$. Lập phương pháp tọa độ hoặc dựng hình phụ và áp dụng công thức tích có hướng giữa các vectơ chỉ phương.

Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0)$; B(a,0,0); C(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0); $A'(0,0,h)$; B'(a,0,h); C'(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, h).
Chọn $M \in AB$, $N \in A'C'$, $M( t a, 0, 0 )$, $N( \dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, h )$.

$\vec{u} = (a, 0, 0)$(chỉ phương$AB$), $\vec{v} = (\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0 )$là phương của$A'C'$:
$\vec{AB} = (a, 0, 0)$, $\vec{A'C'} = (\dfrac{a}{2}, \dfrac{a\sqrt{3}}{2}, 0)$.
$AM = A A' = (0, 0, h )$.
Tính $\vec{MN} = \left( \dfrac{a}{2} - t a, \dfrac{a \sqrt{3}}{2}, h \right)$.
Tính $\vec{u} \times \vec{v}$và thay vào công thức để tính$d$.

Bài toán này nhấn mạnh việc sử dụng tích có hướng để giải quyết dạng hai đường thẳng chéo nhau.

8. Bài tập thực hành

• Cho tứ diện đều cạnh$a$, tính khoảng cách từ một đỉnh đến mặt đáy đối diện.
• Trong hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$có $AB=a$,$AD=b$,$AA'=h$. Tính khoảng cách giữa$AB$và $CD'$.
• Cho hình chóp$S.ABCD$,$SA \perp (ABCD)$và $ABCD$là hình vuông cạnh$a$,$SA = h$. Tính khoảng cách giữa$SB$và $CD$.
• Cho lăng trụ đều$ABC.A'B'C'$, đáy cạnh$a$, chiều cao$h$. Tính khoảng cách từ $A$tới mặt phẳng$(A'BC)$.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn vẽ hình chính xác để nhận diện quan hệ vuông góc hoặc song song.
• Chú ý xác định đúng loại khoảng cách: nhiều học sinh hay nhầm giữa khoảng cách từ điểm đến mặt, từ điểm đến đường, giữa hai đường chéo nhau.
• Phân biệt rõ vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và sử dụng công thức chính xác.
• Khi giải bằng tọa độ, kiểm tra kỹ kết quả tính toán từng bước.
• Chú ý chọn điểm trên đường hoặc mặt phù hợp để thuận lợi cho dựng hình phụ hoặc tính toán.