Chiến lược giải quyết bài toán Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

1. Giới thiệu về bài toán phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình lượng giác cơ bản là những phương trình dạng đơn giản nhất với ẩn là góc, thường xuất hiện trong chương trình lớp 11. Ví dụ điển hình: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, $\cot x = a$. Việc thành thạo giải quyết các dạng này là nền tảng để học tốt các dạng phương trình lượng giác phức tạp hơn ở lớp 12 cũng như trong các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của phương trình lượng giác cơ bản

• Chỉ chứa duy nhất một hàm lượng giác với ẩn$x$(không có tổng, hiệu hoặc bậc cao).
• Có thể quy về các dạng như $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, $\cot x = a$.
• Cần xác định điều kiện xác định của phương trình (nếu có) trước khi giải.
• Nghiệm của phương trình thường là vô số, biểu diễn theo dạng tổng quát với tham số nguyên$k$.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Xác định đúng dạng phương trình lượng giác cơ bản.
2. Chuyển phương trình về một trong 4 dạng cơ bản (sin, cos, tan, cot).
3. Nhớ điều kiện xác định (đặc biệt với phương trình tan, cot).
4. So sánh giá trị $a$với tập xác định của hàm số lượng giác để biết phương trình có nghiệm hay không.
5. Viết nghiệm tổng quát theo công thức phù hợp với mỗi hàm.

4. Các bước giải với ví dụ minh họa

a. Dạng $\sin x = a$

Điều kiện:$-1 \leq a \leq 1$

Nghiệm tổng quát:

hoặc;$k \in \mathbb{Z}$

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sin x = \frac{1}{2}$.

, nghiệm:$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$hoặc$x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi$$\Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$hoặc$x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$;$k \in \mathbb{Z}$

b. Dạng$\cos x = a$

Điều kiện:$-1 \leq a \leq 1$

Nghiệm tổng quát:

hoặc,$k \in \mathbb{Z}$

Ví dụ 2: Giải phương trình$\cos x = -\frac{1}{2}$.

, nghiệm:$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$hoặc$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$,$x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$;$k \in \mathbb{Z}$

c. Dạng$\tan x = a$

Điều kiện:$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$

Nghiệm tổng quát:

,$k \in \mathbb{Z}$

Ví dụ 3: Giải phương trình$\tan x = 1$.

, nghiệm:$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$

d. Dạng$\cot x = a$

Điều kiện:$x \neq k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$

Nghiệm tổng quát:

,$k \in \mathbb{Z}$

Ví dụ 4: Giải phương trình $\cot x = \sqrt{3}$.

, nghiệm: $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đổi dấu giá trị lượng giác thành biểu thức nghiệm phù hợp (ví dụ:
  $$\sin x = -a \Leftrightarrow x = -\\arcsin a + 2k\pi$$
  ,...).
• Sử dụng bảng giá trị lượng giác cơ bản (với$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$,...).
• Luôn ghi rõ điều kiện xác định của từng phương trình.
• Kiểm tra giá trị $a$nằm ngoài khoảng xác định sẽ không có nghiệm.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Trường hợp phương trình có thêm hằng số: $a \sin x = b \Rightarrow \sin x = \frac{b}{a}$(với$a \neq 0$).
• Dạng $\sin (ax + b) = c$cần đặt$t = ax + b$, giải với $t$rồi trở lại$x$.
• Phương trình trùng phương: $\sin^2 x = a$có thể chuyển về $\sin x = \sqrt{a}$hoặc$\sin x = -\sqrt{a}$.
• Phương trình đối xứng, ví dụ $\sin x = \sin \alpha$dùng công thức nghiệm kiểu$x = \alpha + k2\pi$hoặc$x = \pi - \alpha + k2\pi$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Giải phương trình$2\cos x - 1 = 0$.

Bước 1: Đưa về dạng cơ bản$\cos x = a$

$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow 2\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = 0.5$

Bước 2:$a = 0.5$nên có nghiệm, tra bảng

Bước 3: Viết nghiệm tổng quát$<br />x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$hoặc bằng$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$,$x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$với$k \in \mathbb{Z}$

8. Bài tập thực hành

1. Giải các phương trình sau:

• $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 2x = 0.5$
• $2\tan x + 1 = 0$
• $\cot (x - \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$
• $3\cos (x + \frac{\pi}{4}) = 2$

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm lượng giác (ví dụ: với$\tan x$, mẫu phải khác 0).
• Không ghi thiếu nghiệm: nhớ rằng phương trình lượng giác cơ bản luôn có hai nghiệm cơ bản với sin, cos và một nghiệm riêng với tan, cot.
• Cẩn thận khi đổi dấu: $\sin x = -a, \cos x = -a, \tan x = -a, \cot x = -a$ đều có cách viết nghiệm khác nhau.
• Sử dụng bảng giá trị lượng giác hoặc máy tính cầm tay khi cần thiết nhưng cần thuộc các giá trị cơ bản.
• Viết rõ ràng tham số $k \in \mathbb{Z}$cùng nghiệm tổng quát.

Áp dụng chiến lược trên sẽ giúp bạn chủ động và tự tin giải quyết mọi bài toán phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 cũng như hình thành thói quen tư duy logic và chính xác.