Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán Bài 5: Dãy số lớp 11 – Từ cơ bản đến nâng cao

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài 5: Dãy số là dạng toán trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt thuộc CHƯƠNG II. DÃY SỐ, CÁC SỐ CỘNG VÀ CÁC SỐ NHÂN. Dạng bài này thường yêu cầu học sinh nhận diện, xác định công thức tổng quát, tìm số hạng hoặc tính tổng các số hạng của một dãy số. Dãy số xuất hiện với tần suất rất cao trong các đề kiểm tra 15 phút, đề thi học kỳ và cả đề thi giữa kỳ. Việc nắm vững cách giải bài toán Bài 5: Dãy số" sẽ giúp bạn xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài toán khó hơn trong bậc THPT.

Đặc biệt, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập cách giải Bài 5: Dãy số miễn phí – giúp củng cố kỹ năng nhanh chóng!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Bài toán dãy số thường có các dấu hiệu nhận biết như: xuất hiện chuỗi các số theo quy luật nhất định, yêu cầu nhận diện số hạng tổng quát, tìm số hạngunu_n, tổngSnS_nhoặc xác minh một dãy cho trước là cấp số cộng (CSC), cấp số nhân (CSN). Từ khóa điển hình: "tìm công thức tổng quát", "tính số hạng thứ n", "tính tổng" hoặc "dãy số tăng dần/giảm dần". Đặc biệt cần phân biệt với bài toán hàm số khi đề bài chỉ nói về vị trí, số thứ tự các số hạng thay vì biến liên tục.

2.2 Kiến thức cần thiết

  • Công thức dãy số: Công thức truy hồiun+1u_{n+1}theounu_nhoặc công thức tổng quátunu_n.
  • Công thức tính tổng:SnS_ncủa CSC (Sn=n2(u1+un)S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)) và CSN (Sn=u1qn−1q−1S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}nếuq≠1q \ne 1).
  • Tư duy quy nạp tìmunu_ntừ một số số hạng đầu tiên.
  • Khả năng nhận biết quy luật, phát hiện ra các phép toán ẩn trong dãy.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

    Hãy đọc kỹ đề, xác định: dãy số cho dưới dạng gì (bằng bảng, công thức, mô tả lời), yêu cầu tìm gì (số hạng, tổng, quy luật), đâu là số liệu đã biết, đâu là ẩn số cần tìm.

    3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

    Chọn phương pháp: thử từ số hạng đầu, tìm công sai/công bội, lập hệ phương trình, dùng quy nạp, sử dụng các công thức tổng quát hoặc liên hệ với các kiến thức liên quan. Hãy dự đoán kết quả (dấu hiệu khả thi, dấu hiệu vô lý) để kiểm tra.

    3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

    Áp dụng công thức, trình bày mỗi bước rõ ràng, chú ý kiểm tra tính hợp lý kết quả qua thế vào các số hạng đầu.

    4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • Liệt kê các số hạng đầu, quan sát quy luật, tìm công saiddhoặc công bộiqq.
  • Viết công thức truy hồi hoặc tổng quát dựa vào quy luật.
  • Ưu điểm: Dễ áp dụng, phù hợp khi đề bài rõ ràng, số liệu không phức tạp.
  • Hạn chế: Không tối ưu khi số hạng lớn, hoặc ẩn quy luật phức tạp.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • Dùng kỹ thuật giải nhanh: Suy luận tổng quát từ dấu hiệu đặc biệt, dùng sai phân bậc hai…
  • Tối ưu hoá: Rút gọn biểu thức, tìm quy luật ẩn qua công thức tổng quát, dùng quy nạp với dãy số phức tạp.
  • Mẹo nhớ nhanh: Thuộc lòng các công thức cơ bản về CSC, CSN, chú ý dạng đặc biệt (ví dụ q=1q=1,d=0d=0).

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Đề bài: Cho dãy số (un)(u_n)sao chou1=2u_1 = 2,un+1=un+3.u_{n+1} = u_n + 3.Tìmu10u_{10}và S10=u1+u2+...+u10S_{10} = u_1 + u_2 +... + u_{10}.

    Phân tích: Nhận thấy đây là CSC vớiu1=2u_1 = 2,d=3d = 3.

    Lời giải từng bước:

  • Tìmu10u_{10}:u10=u1+(10−1)d=2+9×3=29u_{10} = u_1 + (10-1)d = 2 + 9 \times 3 = 29.
    • Hình minh họa: Đồ thị thể hiện các giá trị số hạng u_n của cấp số cộng u_1=2, công sai d=3 và đồ thị tổng riêng S_n từ n=1 đến n=10, với đánh dấu cụ thể u_{10}=29 và S_{10}=155
    Đồ thị thể hiện các giá trị số hạng u_n của cấp số cộng u_1=2, công sai d=3 và đồ thị tổng riêng S_n từ n=1 đến n=10, với đánh dấu cụ thể u_{10}=29 và S_{10}=155
  • TínhS10S_{10}:S10=102(2+29)=5×31=155S_{10} = \frac{10}{2}(2 + 29) = 5 \times 31 = 155.

    • Giải thích: Áp dụng công thức tổng và số hạng tổng quát của CSC.

    5.2 Bài tập nâng cao

    Đề bài: Cho dãy số (vn)(v_n)vớiv1=1v_1 = 1,vn+1=2vn+1v_{n+1} = 2v_n + 1. Tìm công thức tổng quátvnv_n.

    Lời giải thứ nhất (dùng quy nạp): Nhận thấy đây là dãy truy hồi bậc nhất không thuần nhất.

  • Giả sử vn=a⋅2n+bv_n = a \cdot 2^n + b. Thế vào phương trình truy hồi, giải ravn=2n−1v_n = 2^n - 1.

    • Lời giải thứ hai (liệt kê quy luật): Liệt kê v1=1v_1 = 1,v2=3v_2 = 3,v3=7v_3 = 7,v4=15v_4 = 15… Dễ thấyvn=2n−1v_n = 2^n - 1.

    So sánh: Cách 1 áp dụng lâu dài, tổng quát; cách 2 nhanh với dãy ngắn/quy luật rõ.

    6. Các biến thể thường gặp

  • Dãy số hỗn hợp (vừa cộng vừa nhân), dãy xác định bằng điều kiện đặc biệt.
  • Dãy có quy luật ẩn hoặc biến đổi phức tạp (ví dụ: dãy số liên quan đến tổ hợp, hàm số lượng giác…)
  • Để xử lý, cần linh hoạt điều chỉnh chiến lược: phân tích kỹ giả thiết, thử thế các giá trị nhỏ, tìm quy luật qua sai phân, hoặc biến đổi về dạng quen thuộc.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Chọn sai dạng dãy (nhầm CSC với CSN), hoặc áp dụng công thức không đúng.
  • Cách khắc phục: Luôn kiểm tra lại quy luật qua 2-3 số hạng đầu và đối chiếu kết quả.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Sai sót trong phép cộng/trừ/nhân số hạng, làm tròn số sai.
  • Phương pháp kiểm tra: Đối chiếu quy luật hoặc thế ngược kết quả vào đề bài khi có thể.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

  • Truy cập 42.226+ bài tập cách giải Bài 5: Dãy số miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức.
  • Theo dõi tiến độ, củng cố kiến thức và cải thiện hiệu quả kỹ năng giải toán.

    • 9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Phân chia lộ trình ôn tập mỗi tuần: Tuần 1 luyện tập dạng cơ bản, tuần 2 sang nâng cao, tuần 3 – 4 kết hợp ôn và giải đề tổng hợp.
  • Đặt mục tiêu mỗi tuần hoàn thành ít nhất 10-15 bài tập, sau mỗi tuần tự hệ thống lại kiến thức.
  • Định kỳ kiểm tra tiến độ, rà soát lại điểm yếu để ôn tập lại phần đó.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".