Chiến lược giải quyết bài toán về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập – Toán 11

1. Giới thiệu về bài toán biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập và tầm quan trọng

Bài toán về biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập là một phần không thể thiếu trong chương trình Xác suất lớp 11. Việc nắm vững và vận dụng thành thạo các kiến thức về biến cố giúp học sinh có nền tảng vững chắc để giải quyết bài toán xác suất trong các kỳ thi quan trọng như kiểm tra, thi học kỳ, thi THPT Quốc gia.Phần này giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng phân tích tình huống và khả năng áp dụng các công thức xác suất vào thực tiễn.

2. Đặc điểm của các bài toán biến cố hợp, giao, độc lập

• Xuất hiện nhiều biến cố (A, B, C…) cần tính toán xác suất.
• Bài toán thường yêu cầu xác định xác suất của biến cố hợp ($A ext{hoặc} B$), giao ($A ext{và} B$), hay xác suất của các biến cố độc lập.
• Có nhiều trường hợp xảy ra đồng thời, hoặc loại trừ lẫn nhau, hoặc bị ràng buộc bởi tính độc lập.
• Cần phân biệt rõ khi nào áp dụng công thức cộng, công thức nhân, khi nào cần xét quan hệ độc lập.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

• Đọc kỹ đề bài, xác định các biến cố liên quan và ký hiệu chúng bằng các chữ cái (thường là A, B, C…).
• Phân tích mối quan hệ giữa các biến cố: hợp, giao, độc lập hay loại trừ nhau.
• Chọn công thức xác suất phù hợp với từng quan hệ giữa các biến cố.
• Tính xác suất từng biến cố đơn lẻ (nếu cần), sau đó áp dụng công thức xác suất của các biến cố phức hợp.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Để minh họa chiến lược, hãy xét ví dụ sau:

Ví dụ: Trong một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Gọi A: 'Lấy được bi đỏ', B: 'Lấy được bi xanh'.

Yêu cầu: Tính xác suất của các biến cố:

• A
• B
• A hợp B
• A giao B

Giải:

Bước 1: Xác suất chọn được bi đỏ:

$P(A) = \frac{3}{5}$

Bước 2: Xác suất chọn được bi xanh:

$P(B) = \frac{2}{5}$

Bước 3: Xác suất lấy được bi đỏ hoặc xanh (A hợp B):

$A$và $B$là 2 biến cố xung khắc (không thể xảy ra đồng thời), do đó:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$

Bước 4: Xác suất lấy được bi vừa đỏ vừa xanh (A giao B):

Không thể lấy được 1 viên bi vừa đỏ vừa xanh, nên$A$và $B$là xung khắc,$P(A \cap B) = 0$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức xác suất biến cố hợp:
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• Nếu$A$và $B$xung khắc:$P(A \cap B) = 0$, nên$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• Công thức xác suất biến cố giao (nếu độc lập):
• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$nếu$A$và $B$ độc lập
• Nếu không độc lập, dùng định nghĩa:$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_{A}(B)$với$P_{A}(B)$là xác suất có điều kiện.
• Công thức xác suất biến cố đối:$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Bài toán có nhiều hơn 2 biến cố: Áp dụng công thức cộng/xác suất giao cho nhiều biến cố, có kể tới sự giao giữa từng cặp hoặc từng nhóm biến cố.
• Bài toán có sự lặp lại phép thử (nhiều lần trao đổi): Xác định rõ tính độc lập giữa các phép thử để áp dụng công thức nhân xác suất.
• Các biến cố không độc lập: Phải xác định và sử dụng xác suất có điều kiện.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Một hộp có 4 bi trắng, 3 bi đen và 2 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Gọi A: lấy được bi trắng, B: lấy được bi đỏ.

• a) Tính xác suất để lấy được bi trắng hoặc đỏ.
• b) Tính xác suất lấy được bi vừa trắng vừa đỏ.
• c) Xác định tính độc lập giữa hai biến cố A và B.

Giải chi tiết:

- Tổng số bi:$4 + 3 + 2 = 9$

-$P(A) = \frac{4}{9};\quad P(B) = \frac{2}{9}$

- Vì không có viên bi nào vừa trắng vừa đỏ nên$P(A \cap B) = 0$

- Xác suất lấy được bi trắng hoặc đỏ:$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

- Xét tính độc lập:$P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \cdot P(B) = \frac{4}{9} \times \frac{2}{9} = \frac{8}{81}$⇒ Hai biến cố này không độc lập.

8. Bài tập thực hành

1. Trong hộp có 5 bi đỏ, 3 bi xanh, 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Gọi A: lấy được bi đỏ, B: lấy được bi vàng. Tính$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cup B)$,$P(A \cap B)$. Hai biến cố A, B có độc lập không?
2. Một túi có 4 thẻ ghi số từ 1 đến 4. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ, gọi A: tổng các số trên hai thẻ là số chẵn, B: có ít nhất một thẻ ghi số 1. Tính$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cap B)$,$P(A \cup B)$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Phải xác định đúng mối quan hệ giữa các biến cố (hợp, giao, xung khắc, độc lập) trước khi chọn công thức tính xác suất.
• Đọc kỹ yêu cầu đề, tránh nhầm lẫn giữa xác suất biến cố giao và biến cố hợp.
• Các biến cố trong cùng một phép thử mà không có phần tử chung là xung khắc:$A \cap B = \varnothing$.
• Độc lập chỉ có thể xét khi các biến cố thuộc các phép thử lặp lại hoặc có sự phân biệt điều kiện.
• Đừng quên xác suất của biến cố đối:$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$, rất hữu ích khi bài toán hỏi xác suất không có sự kiện nào xảy ra.