1. Giới thiệu về bài toán các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (còn gọi là số đặc trưng vị trí trung tâm) như trung bình cộng, trung vị, mode (mốt) giúp tóm tắt, phân tích, và so sánh dữ liệu một cách hiệu quả. Đây là kiến thức nền tảng trong môn thống kê, xuất hiện trong hầu hết các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và thi THPT quốc gia. Hiểu và áp dụng thành thạo các số đặc trưng này giúp học sinh tăng khả năng phân tích số liệu thực tế, rèn luyện tư duy logic và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề.

2. Đặc điểm của các bài toán về số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• Dữ liệu cho dưới dạng dãy số, bảng tần số hoặc bảng phân bố tần số lớp.
• Yêu cầu xác định một hoặc nhiều số đặc trưng như trung bình cộng ($\overline{x}$), trung vị ($M_d$), mode ($M_o$).
• Có thể yêu cầu so sánh, nhận xét, thay đổi giá trị khi sửa đổi dữ liệu.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Xác định dạng bài: dãy số, bảng tần số, hay bảng phân lớp.
2. Lựa chọn công thức và phương pháp giải phù hợp.
3. Thực hiện các bước tính toán chính xác từng số đặc trưng.
4. Phân tích yêu cầu phụ (so sánh, nhận xét, xử lý số liệu thay đổi).

4. Các bước giải bài toán chi tiết với ví dụ minh họa

Giả sử đề bài cho dãy số liệu: 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 12, 13.

• Bước 1: Xác định bài toán yêu cầu tính các số đặc trưng nào.
• Bước 2: Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần (nếu cần thiết). Ở đây đã cho sẵn.
• Bước 3: Tính trung bình cộng:

Công thức: $\overline{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$

$\sum x_i = 4 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10 + 12 + 12 + 13 = 89$
n = 10
$\Rightarrow \overline{x} = \frac{89}{10} = 8.9$

• Bước 4: Tìm trung vị ($M_d$):
  - Nếu số lượng số lẻ: Trung vị là số ở giữa.
  - Nếu số lượng số chẵn: Trung vị là trung bình cộng của hai số ở giữa.

n = 10 (chẵn),
Hai số ở giữa là số thứ 5 (8) và số thứ 6 (9):
$M_d = \frac{8 + 9}{2} = 8.5$

• Bước 5: Tìm mode (mốt$M_o$): Số xuất hiện nhiều nhất trong dãy.

Ở đây, 8 và 12 đều xuất hiện 2 lần → có hai mode là 8 và 12.

5. Công thức & kỹ thuật cần nhớ

• Trung bình cộng (số liệu ghép tần số): $\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$
• Trung vị (dãy đã sắp xếp, số lẻ):$M_d = x_{\frac{n+1}{2}}$; số chẵn:$M_d = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2} + 1}}{2}$
• Mode (Mốt): Số có tần số lớn nhất.
• Trường hợp bảng phân lớp: sử dụng công thức nội suy với lớp chứa trung vị hoặc mốt, kèm các ký hiệu như $l$,$f_m$,$N$...

- Nếu cho bảng tần số lớp: cần xác định lớp chứa trung vị, xây dựng công thức nội suy phù hợp.

6. Các biến thể bài toán & điều chỉnh chiến lược

• Thay đổi số liệu: Nếu thay đổi một số, hãy tính lại trung bình cộng và kiểm tra ảnh hưởng đến mode, trung vị.
• Thêm hoặc bớt số liệu: Cần xác định vị trí các số khi bổ sung hoặc loại bỏ.
• Cho bảng tần số hoặc bảng phân lớp, cần nội suy hoặc áp dụng công thức tổng quát.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết từng bước

Bài tập:
Bảng số liệu về điểm kiểm tra toán của một lớp như sau:

Điểm: \quad 5\quad 6\quad 7\quad 8\quad 9
Số học sinh: \quad 2\quad 5\quad 8\quad 7\quad 3

a) Tính trung bình cộng số điểm
b) Tìm trung vị và mốt của bảng số liệu

Giải:

a) Tính trung bình cộng:
Đặt$f_i$là số học sinh,$x_i$là điểm.

$\overline{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{2 \times 5 + 5 \times 6 + 8 \times 7 + 7 \times 8 + 3 \times 9}{2 + 5 + 8 + 7 + 3}$
$= \frac{10 + 30 + 56 + 56 + 27}{25}$
$= \frac{179}{25} = 7,16$

b) Trung vị:
- Tổng số HS là $25$, số HS ở giữa là thứ $13$(do$\frac{25+1}{2} = 13$).
- Cộng dồn: 2, 7, 15, 22, 25. Số $13$nằm ở nhóm có điểm 7 → trung vị là 7.

Mốt là giá trị có tần số lớn nhất (lớn nhất là 8). Số điểm 7 có tần số cao nhất (8) ⇒ mốt là 7.

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 7, 7, 8, 9, 11. Tính trung bình cộng, trung vị và mode.
Bài 2: Một bảng số liệu về chiều cao học sinh (cm):
Chiều cao: 150 | 155 | 160 | 165 | 170
Số HS :   3   | 5  | 12 | 8  | 2
a) Tính chiều cao trung bình
b) Tìm trung vị và mốt.
* Bài 3: Một bảng phân lớp:
Lớp  | 10-12 | 12-14 | 14-16 | 16-18
Tần số| 2 | 7 | 8 | 3
Hãy xác định lớp chứa trung vị, nội suy để tìm trung vị (giả thiết số liệu đều).

9. Mẹo & lưu ý để tránh sai lầm khi làm bài

• Luôn kiểm tra lại việc cộng các số/tần số.
• Khi tính trung vị phải nhớ dãy đã sắp xếp hay chưa.
• Trong bảng phân lớp cần xác định đúng lớp chứa trung vị, sử dụng công thức nội suy chuẩn xác:

Công thức trung vị cho bảng phân lớp:
$M_d = l + h\frac{\frac{N}{2} - F_c}{f}$
Trong đó:
-$l$là giá trị nhỏ nhất của lớp chứa trung vị
-$h$là độ rộng lớp
-$N$là tổng tần số
-$F_c$là tổng tần số của các lớp đứng trước
-$f$là tần số của lớp chứa trung vị

• Cẩn thận với đề bài yêu cầu nhiều mode hoặc không có mode.
• Đọc kỹ yêu cầu phụ: chỉ thay đổi một số, hay thêm/bớt giá trị ra sao?