1. Giới thiệu về bài toán cấp số nhân và tầm quan trọng

Cấp số nhân (CSN) là một trong những dạng bài toán phổ biến và trọng tâm trong chương trình toán lớp 11. Bài toán về cấp số nhân thường xuất hiện không chỉ trong các bài kiểm tra, kỳ thi mà cả trong các lĩnh vực thực tiễn như tài chính, lãi suất, sự phát triển dân số... Hiểu và thành thạo cách giải bài toán cấp số nhân giúp học sinh xây dựng nền tảng tốt cho các chuyên đề nâng cao hơn sau này.

2. Đặc điểm nhận biết bài toán cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số trong đó, mỗi số hạng (từ số thứ hai trở đi) đều bằng tích của số hạng liền trước với một số không đổi q (gọi là công bội). Dạng tổng quát:

$u_{n} = u_1 \cdot q^{n-1}$

• Mỗi bài toán thường cho thông tin về số hạng đầu, số hạng nào đó, công bội hoặc tổng các số hạng và yêu cầu xác định ẩn số còn thiếu.

3. Chiến lược tiếp cận tổng thể

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1:
Cho một cấp số nhân có số hạng đầu$u_1 = 3$, công bội$q = 2$. Tìm số hạng thứ 6.

Kết luận: Số hạng thứ 6 là 96.

Ví dụ 2:
Một cấp số nhân có $u_1 = 5$,$u_3 = 45$. Tìm công bội$q$và số hạng tổng quát.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

6. Các biến thể phổ biến của bài toán cấp số nhân

Điều chỉnh chiến lược bằng cách thiết lập hệ phương trình phù hợp hoặc biến đổi linh hoạt các công thức tổng và số hạng tổng quát để tạo phương trình giải bài toán.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập mẫu: Cho một cấp số nhân với$u_1 = 2$,$S_5 = 62$. Tìm công bội$q$.

• Áp dụng công thức tổng:
  $S_5 = u_1 \frac{q^5 - 1}{q-1}$;
  Thay số:
  $62 = 2 \frac{q^5 - 1}{q-1}$;
  $31 = \frac{q^5 - 1}{q-1}$;
  $31(q-1) = q^5 - 1$;
  $31q - 31 = q^5 - 1$;
  $0 = q^5 - 31q + 30$.
  Dùng thử $q = 2$:
  $2^5 - 31x2 + 30 = 32 - 62 + 30 = 0$.
  Vậy$q = 2$.

Kết luận: Công bội$q = 2$.

8. Bài tập tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm

Hy vọng qua bài viết này, các em đã hiểu rõ phương pháp, kỹ thuật và cách giải bài toán cấp số nhân, sẵn sàng ứng dụng cho mọi dạng bài gặp phải!