1. Giới thiệu về dạng bài "Giá trị lượng giác của góc" và tầm quan trọng

Bài toán giá trị lượng giác của góc là một trong những loại bài cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, chủ đề Lượng giác. Hiểu sâu về giá trị lượng giác giúp học sinh giải các bài toán thực tế, ứng dụng trong tính toán hình học, vật lý, kỹ thuật… Loại bài này là nền tảng cho các bài toán phương trình lượng giác, hàm số lượng giác và các ứng dụng về sau.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán

Dạng bài toán này tập trung chủ yếu vào việc tìm giá trị các hàm số lượng giác cơ bản (sin, cos, tan, cotan) của một góc bất kỳ (có thể lớn hơn$90^\circ$, số âm, có số đo radian hoặc độ, góc đặc biệt hoặc góc không đặc biệt), dựa trên đường tròn lượng giác hoặc các tam giác vuông đặc biệt. Ngoài ra, bài còn có thể yêu cầu tính giá trị lượng giác của một góc dựa vào các yếu tố phụ liên quan như tọa độ điểm, giá trị của một tỷ số lượng giác khác, hay tính giá trị lượng giác của các góc đối, bù, phụ, hơn kém nhau$180^\circ$,$360^\circ$…

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải tốt dạng bài này, bạn nên:

• Nắm vững các định nghĩa và công thức lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot của một góc.
• Ghi nhớ bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:$0^\circ$,$30^\circ$,$45^\circ$,$60^\circ$,$90^\circ$,$120^\circ$,$135^\circ$,$150^\circ$,$180^\circ$, v.v.
• Hiểu rõ quy tắc dấu lượng giác trong các góc phần tư.
• Biết chuyển đổi số đo góc giữa radian và độ khi cần thiết.
• Vận dụng linh hoạt các công thức liên quan (góc đối, góc bù, góc phụ, cộng trừ góc).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Dưới đây là các bước giải "cách giải bài toán giá trị lượng giác của góc" với ví dụ minh họa:

1. Xác định loại góc cần tính: là góc đặc biệt hay không, tìm xem có thể quy về góc đặc biệt không.
2. Đổi số đo góc về dạng phù hợp (radian hoặc độ) nếu cần thiết.
3. Sử dụng các công thức biến đổi góc (góc đối, góc bù, góc phụ, hơn kém$180^\circ$,$360^\circ$…) để quy về góc quen thuộc.
4. Dựa vào bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để tính.
5. Xác định dấu dựa vào vị trí của góc trên đường tròn lượng giác (theo các góc phần tư).

Ví dụ 1: Tính $\sin 150^\circ$

Bước 1: Nhận ra$150^\circ$là góc đặc biệt, có thể viết$150^\circ = 180^\circ - 30^\circ$.

Bước 2: Áp dụng công thức: $\sin(180^\circ - x) = \sin x$.

Bước 3: $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Ví dụ 2: Tính$\cos 210^\circ$

210$^\circ = 180^\circ + 30^\circ$

Sử dụng công thức$\cos(180^\circ + x) = -\cos x$:

$\cos 210^\circ = \cos(180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ví dụ 3: Tính$\tan(-45^\circ)$

$\tan(-x) = - \tan x$. Do đó $\tan(-45^\circ) = - \tan 45^\circ = -1$.

Ví dụ 4: Tính$\cot 240^\circ$

240$^\circ = 180^\circ + 60^\circ$

$\cot(180^\circ + x) = \cot x$, nên $\cot 240^\circ = \cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

a) Định nghĩa cơ bản trên đường tròn lượng giác:

• $\sin \alpha = \frac{y}{r}$nếu điểm M trên đường tròn lượng giác có tọa độ $(x, y)$, $r = 1$.
• $\cos \alpha = \frac{x}{r}$
• $\tan \alpha = \frac{y}{x}$(khi$x <br> \neq 0$)
• $\cot \alpha = \frac{x}{y}$(khi$y <br> \neq 0$)

b) Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt:

| $\alpha$|$0^\circ$|$30^\circ$|$45^\circ$|$60^\circ$|$90^\circ$|
|----|--------|--------|--------|--------|--------|
|$\sin \alpha$| 0 |$\frac{1}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{\sqrt{3}}{2}$| 1 |
|$\cos \alpha$| 1 |$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\frac{1}{2}$| 0 |
|$\tan \alpha$| 0 |$\frac{1}{\sqrt{3}}$| 1 |$\sqrt{3}$ | không xác định |

c) Các công thức biến đổi góc quan trọng phải nhớ:

• $\sin(-x) = -\sin x;\cos(-x) = \cos x;\tan(-x) = -\tan x;$
• $\sin(180^\circ - x) = \sin x$; $\cos(180^\circ - x) = -\cos x$; $\tan(180^\circ - x) = -\tan x$
• $\sin(180^\circ + x) = -\sin x$; $\cos(180^\circ + x) = -\cos x$; $\tan(180^\circ + x) = \tan x$
• $\sin(90^\circ - x) = \cos x$; $\cos(90^\circ - x) = \sin x$; $\tan(90^\circ - x) = \cot x$

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể bạn có thể gặp và cách giải:

• Cho góc dạng radian:$x = \frac{7\pi}{6}$, hãy quy về dạng độ (hoặc góc đặc biệt) trước.
• Cho biết giá trị một tỷ số lượng giác và xác định góc hoặc giá trị các tỷ số khác, cần sử dụng mối liên hệ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ và xác định dấu dựa vào vị trí góc.
• Tìm giá trị lượng giác khi biết toạ độ điểm thuộc đường tròn lượng giác: sử dụng định nghĩa lượng giác theo toạ độ.
• Liên quan đến góc phụ, góc bù, góc hơn kém$360^\circ$: Dùng các công thức biến đổi tương ứng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết từng bước

Bài tập: Tính giá trị các biểu thức sau:

1. $a) \sin 120^\circ$
2. $b) \cos 225^\circ$
3. $c) \tan 315^\circ$

Giải:

a)$120^\circ = 180^\circ - 60^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b)$225^\circ = 180^\circ + 45^\circ$

$\cos 225^\circ = \cos (180^\circ + 45^\circ) = - \cos 45^\circ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

c)$315^\circ = 360^\circ - 45^\circ$

$\tan 315^\circ = \tan (360^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

8. Bài tập thực hành

Hãy tự tính giá trị lượng giác các góc sau:

• $\sin 240^\circ$
• $\cos 300^\circ$
• $\tan 210^\circ$
• $\cot 135^\circ$

9. Các mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn kiểm tra lại vị trí góc trên đường tròn lượng giác để xác định đúng dấu.
• Cẩn thận khi sử dụng công thức biến đổi góc, tránh nhầm giữa$\tan(180^\circ + x)$và $\tan(180^\circ - x)$.
• Không quên chuyển đổi giữa radian và độ khi đề bài yêu cầu hoặc số liệu cho ở dạng khác nhau.
• Thuộc lòng bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt để việc quy về góc đặc biệt nhanh chóng và chính xác.
• Luôn kiểm tra điều kiện xác định của các hàm số lượng giác (ví dụ: tan và cot).

Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm chắc cách giải bài toán giá trị lượng giác của góc – nền tảng vững vàng để giải quyết các bài toán lượng giác ở lớp 11 và các lớp tiếp theo!