1. Giới thiệu về bài toán hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài toán về hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một trong những chủ đề trọng tâm thuộc chương Hình học không gian lớp 11. Dạng bài này không chỉ giúp học sinh hiểu sâu sắc về các khái niệm quan trọng của hình học phẳng và không gian, mà còn phát triển khả năng tư duy logic, hình dung hình học. Khả năng giải quyết thành thạo loại bài toán này là nền tảng cho nhiều vấn đề phức tạp hơn ở chương sau và cần thiết khi làm các bài tập luyện thi học sinh giỏi và thi vào đại học.

2. Đặc điểm của bài toán hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ở dạng toán này, bạn thường gặp các yêu cầu như chứng minh một đường thẳng (thường là $d$) vuông góc với mặt phẳng$(P)$nào đó, hoặc tìm điều kiện để hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng. Các đặc điểm tiêu biểu:

• Thường xuất hiện các hình khối cơ bản: tứ diện, lăng trụ, hình chóp.
• Đòi hỏi sử dụng định nghĩa, định lý về vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Các phép chứng minh thường kết nối giữa các quan hệ song song, vuông góc.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Cách giải bài toán hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng gồm các chiến lược tổng thể sau:

1. Vẽ hình chính xác, xác định rõ các yếu tố không gian liên quan (các đường thẳng, các mặt phẳng).
2. Phân tích yêu cầu đề bài, xác định mối liên hệ giữa các yếu tố.
3. Tìm đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng.
4. Sử dụng các định lý cơ bản về vuông góc: định nghĩa vuông góc đường - mặt, định lý ba đường vuông góc, lập luận gián tiếp nếu cần.
5. Nếu chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hãy tìm một cặp hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng cùng vuông góc với đường thẳng đó.

4. Các bước giải quyết bài toán chi tiết (có ví dụ minh họa)

Chi tiết từng bước như sau:

1. Bước 1: Vẽ hình và kí hiệu các yếu tố được cho cũng như yếu tố cần chứng minh.
2. Bước 2: Xác định mặt phẳng chứa yếu tố cần chứng minh (thường là mặt cần chứng minh vuông góc với đường thẳng nào).
3. Bước 3: Tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng và chứng minh rằng đường thẳng cần xét lần lượt vuông góc với hai đường này.
4. Bước 4: Áp dụng định nghĩa hoặc định lý để kết luận.

Ví dụ 1: Cho tứ diện$ABCD$,$M$là trung điểm$AB$,$N$là trung điểm$AC$. Chứng minh rằng$MN \perp (BCD)$.

Giải:Ta tiến hành các bước:

1. Vẽ tứ diện$ABCD$, xác định các điểm$M, N$.
2. Mặt phẳng$(BCD)$có hai đường cắt nhau$BC$và $BD$.
3. Chứng minh$MN \perp BC$(vì $MN \parallel AC$mà $AC \perp BC$trong tam giác$ABC$nếu$AB=AC$, tạo trường hợp đặc biệt, hoặc chứng minh bằng hệ thức véc-tơ). Tương tự với$BD$.
4. Kết luận$MN \perp (BCD)$nhờ định nghĩa: một đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau thuộc mặt phẳng thì vuông góc với mặt ấy.

5. Công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định nghĩa: Đường thẳng$d$vuông góc với mặt phẳng$(P)$nếu$d$vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc$(P)$.
• Định lý: Nếu $d \perp d_1$, $d \perp d_2$và $d_1, d_2$cắt nhau,$d_1, d_2 \subset (P)$thì $d \perp (P)$.
• Công thức véc-tơ: Cho véc-tơ chỉ phương$\vec{u}_d$của$d$và véc-tơ pháp tuyến$\vec{n}$của mặt$(P)$, nếu$\vec{u}_d \cdot \vec{n} = 0$thì $d \perp (P)$.
• Áp dụng ba đường vuông góc nếu cần (một kỹ thuật mạnh trong luyện tập).

6. Các biến thể và chiến lược áp dụng

Một số biến thể phổ biến của loại bài toán này gồm:

• Tìm điều kiện để hai đường thẳng đều vuông góc cùng một mặt phẳng.
• Chứng minh giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác.
• Chứng minh các cạnh của hình chóp, lăng trụ vuông góc với mặt đáy hoặc mặt bên.

Khi gặp các biến thể này, hãy linh hoạt xác định các đường thẳng và mặt phẳng liên quan, thậm chí có thể cần chuyển sang hệ tọa độ hoặc dùng véc-tơ nếu đề bài trừu tượng.

7. Bài tập mẫu & phương pháp giải chi tiết

Bài 1: Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác đều cạnh$a$,$SA \perp (ABC)$,$SA = h$. Gọi$G$là trọng tâm tam giác$ABC$. Chứng minh$SG \perp (SBC)$.

Giải:Ta cần$SG \perp (SBC)$.

1. Xác định$SG$. Vì $G$là trọng tâm nên$SG$nằm trong mặt phẳng qua$S$và trọng tâm đáy.
2. Mặt phẳng$(SBC)$chứa$SB$và $SC$, hai đường này cắt nhau tại$S$.
3. Chứng minh$SG$vuông góc cả $SB$và $SC$.
4. Ta có $SG \perp SB$và $SG \perp SC$vì trong tam giác đều$SG$là đường trung tuyến từ $S$ đi trọng tâm, hai cạnh$SB$,$SC$ đối xứng qua$SG$nên vuông góc, có thể chứng minh bằng véc-tơ.
5. Suy ra$SG \perp (SBC)$.

8. Bài tập tự luyện

1. Cho tứ diện$ABCD$;$M$là trung điểm$AB$,$N$là trung điểm$AC$,$P$là trung điểm$AD$. Chứng minh$MP \perp (BCD)$.
2. Cho hình chóp$S.ABCD$có đáy là hình vuông,$SA \perp (ABCD)$. Gọi$I$là tâm hình vuông$ABCD$. Chứng minh$SI \perp (SAB)$.
3. Cho hình lăng trụ đứng$ABC.A'B'C'$có đáy$ABC$là tam giác đều. Chứng minh$AA' \perp (AB'C')$.

9. Các mẹo và lưu ý

• Luôn vẽ hình thật cẩn thận, đánh dấu rõ các ký hiệu vuông góc, trung điểm, trọng tâm.
• Mỗi khi muốn chứng minh$d \perp (P)$, hãy cố gắng tìm hai đường cắt nhau thuộc$(P)$cùng vuông góc với$d$.
• Nếu bài toán khó hình dung, thử gán tọa độ các điểm để sử dụng kỹ thuật véc-tơ.
• Chăm chỉ luyện tập với nhiều bài tập hình khối khác nhau, hình vẽ càng đa dạng tư duy càng tốt.
• Thận trọng với điều kiện "vuông góc" – chỉ đúng khi đường thẳng thật sự vuông góc mọi đường trong mặt phẳng ấy đi qua giao điểm.

Hi vọng bài viết này đã giúp bạn nắm vững cách giải bài toán hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đồng thời thành thạo các kỹ năng và sẵn sàng chinh phục dạng bài này trong thi kiểm tra cũng như các kỳ thi quan trọng.