Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán hàm giá trị tuyệt đối lớp 11: Hướng dẫn chi tiết và bài tập luyện tập

T
Tác giả
•
•7 phút đọc
Chia sẻ:
7 phút đọc

1. Giới thiệu về bài toán hàm giá trị tuyệt đối và tầm quan trọng

Hàm giá trị tuyệt đối là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 cũng như trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Loại bài toán này xuất hiện ở nhiều dạng: phương trình, bất phương trình, bài toán hàm số... Việc thành thạo cách giải bài toán hàm giá trị tuyệt đối sẽ giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng tách trường hợp và vận dụng linh hoạt kiến thức giải tích vào bài tập nâng cao và thực tiễn.

2. Đặc điểm của bài toán hàm giá trị tuyệt đối

Bài toán hàm giá trị tuyệt đối nổi bật bởi những yếu tố sau:

  • - Hàm giá trị tuyệt đối (GTĐĐ) là hàm số có cú pháp chính:f(x)=∣g(x)∣f(x) = |g(x)|.
  • - Giá trị tuyệt đối biến đổi biểu thức gốc thành hai "nhánh" tương ứng với hai trường hợp (biểu thức bên trong không âm và âm).
  • - Việc giải bài toán hàm GTĐĐ thường gắn với phân hoạch miền xác định thành các khoảng.
  • - Có thể xuất hiện nhiều giá trị tuyệt đối lồng nhau hoặc nhiều biểu thức giá trị tuyệt đối.
  • - Dạng bài đa dạng: phương trình, bất phương trình, bài toán cực trị, xác định tính liên tục, xét đạo hàm...

    • 3. Chiến lược tổng thể cách giải bài toán hàm giá trị tuyệt đối

    Để giải hiệu quả các bài toán giá trị tuyệt đối, bạn nên thực hiện các bước sau:

  • Bước 1: Xác định điều kiện xác định của bài toán.
  • Bước 2: Tìm tất cả các điểm làm cho biểu thức bên trong mỗi dấu giá trị tuyệt đối bằng 0.
  • Bước 3: Chia miền xác định thành các khoảng dựa trên các điểm vừa tìm.
  • Bước 4: "Phá" dấu giá trị tuyệt đối trên từng khoảng cụ thể.
  • Bước 5: Giải quyết bài toán (phương trình, bất phương trình, cực trị...) như bình thường với mỗi trường hợp đã được chuyển đổi.
  • Bước 6: Kiểm tra lại các trường hợp, sàng lọc nghiệm phù hợp với điều kiện ban đầu.

    • 4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

    Ví dụ 1: Giải phương trình∣x−3∣=2|x - 3| = 2.

  • - Xét hai trường hợp:x−3≥0x - 3 \geq 0và x−3<0x - 3 < 0.
  • Trường hợp 1:x−3≥0⇒∣x−3∣=x−3x - 3 \geq 0 \Rightarrow |x-3| = x - 3. Khi đó x−3=2⇒x=5x-3 = 2 \Rightarrow x = 5.
  • Trường hợp 2:x−3<0⇒∣x−3∣=−(x−3)=3−xx - 3 < 0 \Rightarrow |x-3| = -(x - 3) = 3 - x. Khi đó 3−x=2⇒x=13 - x = 2 \Rightarrow x = 1.
  • Vậy tập nghiệm là S={1;5}S = \{1; 5\}.

    • Ví dụ 2: Giải phương trình∣2x+1∣=∣x−2∣|2x + 1| = |x - 2|.

  • - Tìm các điểm quan trọng:2x+1=0⇔x=−122x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2},x−2=0⇔x=2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.
  • - Chia miền thành 3 khoảng: i)x<−12x < -\frac{1}{2}; ii)−12≤x<2-\frac{1}{2} \leq x < 2; iii)x≥2x \geq 2.
  • Xét từng khoảng, phá dấu tuyệt đối và giải phương trình như thường.
  • Khoảng 1:x<−12x < -\frac{1}{2},2x+1<02x+1 < 0và x−2<0x-2 < 0nên∣2x+1∣=−(2x+1)|2x+1|=-(2x+1),∣x−2∣=−(x−2)|x-2|=-(x-2). Ta có:−(2x+1)=−(x−2)⇔−2x−1=−x+2⇒−x=3⇒x=−3-(2x+1)=-(x-2) \Leftrightarrow -2x-1=-x+2 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3(thỏax<−12x < -\frac{1}{2}).
  • Khoảng 2:−12≤x<2-\frac{1}{2} \leq x < 2,2x+1≥02x+1 \geq 0,x−2<0x-2 < 0nên∣2x+1∣=2x+1|2x+1|=2x+1,∣x−2∣=−(x−2)=2−x|x-2|=-(x-2)=2-x. Lập phương trình:2x+1=2−x⇒3x=1⇒x=132x+1 = 2-x \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}(thỏa−12≤x<2-\frac{1}{2} \leq x < 2).
  • Khoảng 3:x≥2x \geq 2, mọi biểu thức đều không âm nên∣2x+1∣=2x+1|2x+1|=2x+1,∣x−2∣=x−2|x-2|=x-2. Phương trình:2x+1=x−2⇒x=−32x+1 = x-2 \Rightarrow x = -3(không thỏax≥2x \geq 2).
  • Kết hợp lại: nghiệm là x=−3x = -3,x=13x = \frac{1}{3}.

    • 5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

  • ∣A∣={AkhiA≥0−AkhiA<0|A| = \left\{\begin{matrix*} A & \text{khi} A \geq 0 \\ -A & \text{khi} A < 0 \\\end{matrix*}\right.
  • ∣A∣=B⇔A=BhoặcA=−B|A| = B \Leftrightarrow A = B \text{hoặc} A = -B (với B≥0B \geq 0 )
  • ∣A∣=∣B∣⇔A=BhoặcA=−B|A| = |B| \Leftrightarrow A = B \text{hoặc} A = -B
  • ∣A∣≥B⇔A≥BhoặcA≤−B|A| \geq B \Leftrightarrow A \geq B \text{hoặc} A \leq -B (với B≥0B \geq 0 )
  • ∣A∣≤B⇔−B≤A≤B|A| \leq B \Leftrightarrow -B \leq A \leq B(vớiB≥0B \geq 0)
  • ∣∣x∣−a∣=b⇔∣x∣=a+bhoặc∣x∣=∣a−b∣||x| - a| = b \Leftrightarrow |x| = a + b \text{hoặc} |x| = |a - b|
  • Bất đẳng thức:∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣,∣a−b∣≥∣∣a∣−∣b∣∣|a + b| \leq |a| + |b|, |a - b| \geq ||a| - |b||

    • 6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

    Bài toán GTĐĐ có nhiều dạng, cần lưu ý điều chỉnh chiến lược như sau:

  • - Phương trình chứa nhiều biểu thức GTĐĐ: Cần lập bảng xét dấu, phân chia miền xác định phù hợp.
  • - Bất phương trình GTĐĐ: Kết hợp xét dấu và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản.
  • - Dạng hàm liên tục: Áp dụng kiến thức về sự liên tục trên mỗi khoảng, kiểm tra tại các điểm gây mất liên tục.
  • - Dạng bài tập cực trị: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường kết hợp với bảng xét dấu và phân hoạch miền.

    • Kinh nghiệm quan trọng: Không nên chủ quan bỏ sót các miền giá trị của biến; luôn đối chiếu lại điều kiện xác định.

    7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    Bài 1: Giải bất phương trình∣x+2∣<3|x+2| < 3.

  • - Sử dụng công thức∣A∣<B⇔−B<A<B|A| < B \Leftrightarrow -B < A < B:−3<x+2<3-3 < x+2 < 3.
  • -−3<x+2<3⇔−5<x<1-3 < x+2 < 3 \Leftrightarrow -5 < x < 1.
  • Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là −5<x<1-5 < x < 1.

    • Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất củaf(x)=∣x−4∣+∣x+1∣f(x) = |x - 4| + |x + 1|.

  • - Nếux<−1x < -1:f(x)=−(x−4)−(x+1)=−x+4−x−1=−2x+3f(x) = -(x-4) - (x+1) = -x + 4 - x - 1 = -2x + 3.
  • - Nếu−1≤x<4-1 \leq x < 4:f(x)=−(x−4)+(x+1)=−x+4+x+1=5f(x) = -(x - 4) + (x + 1) = -x + 4 + x + 1 = 5.
  • - Nếux≥4x \geq 4:f(x)=(x−4)+(x+1)=x−4+x+1=2x−3f(x) = (x - 4) + (x + 1) = x - 4 + x + 1 = 2x - 3.
  • - Tìm giá trị nhỏ nhất trên từng đoạn:f(x)f(x)đạt giá trị nhỏ nhất là55, vớix∈[−1,4]x \in [-1, 4].

    • 8. Bài tập thực hành luyện tập hàm giá trị tuyệt đối

  • Bài 1: Giải phương trình∣2x−3∣=x+1|2x - 3| = x + 1.
  • Bài 2: Giải bất phương trình∣3x+2∣≥4|3x + 2| \geq 4.
  • Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất củay=∣x−2∣+∣x+5∣y = |x - 2| + |x + 5|.
  • Bài 4: Xác định tập xác định và vẽ đồ thị hàm số y=∣x+1∣y = |x + 1|.
  • Bài 5: Tìm điều kiện để hàmf(x)=1∣x−3∣f(x) = \frac{1}{|x - 3|}liên tục trênR\bf R.

    • 9. Mẹo, lưu ý và các sai lầm thường gặp

  • Hãy luôn kiểm tra điều kiện xác định sau khi phá dấu giá trị tuyệt đối và loại nghiệm lạ không phù hợp với khoảng xét.
  • Khi có nhiều dấu giá trị tuyệt đối, hãy đặt các điểm chia miền cẩn thận, ghi chúng ra giấy và biện luận rõ ràng.
  • Luôn thử lại đáp án vào phương trình/bất phương trình gốc thay vì chỉ tin vào kết quả từng bước.
  • Luyện kỹ năng tách trường hợp nhanh nhạy để tránh sót hoặc lặp miền.

    • Hy vọng với hướng dẫn chiến lược giải bài toán hàm giá trị tuyệt đối lớp 11 này, các bạn sẽ chủ động tự giải nhiều bài tập hơn và đạt kết quả tối ưu trong kiểm tra, thi cử cũng như phát triển tư duy toán học.

    T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Bài trước

    Hàm Logarit – Khái Niệm, Định Nghĩa và Ứng Dụng (Toán 11)

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".