1. Giới thiệu về bài toán hàm logarit lớp 11

Hàm logarit là chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, vừa đóng vai trò nền tảng cho Đại số hiện đại, vừa là yếu tố trọng tâm trong đề thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ kiến thức và biết cách giải bài toán hàm logarit không chỉ giúp nâng cao kết quả học tập mà còn giúp học sinh phát triển tư duy logic, kỹ năng biến đổi biểu thức phức tạp và chuẩn bị chắc chắn cho các kỳ thi quan trọng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán hàm logarit

• Xuất hiện các biểu thức chứa$\log_a b$với$a > 0, a \neq 1, b > 0$.
• Đòi hỏi điều kiện xác định (điều kiện tồn tại của hàm logarit, đặc biệt khi biến đổi biểu thức hoặc giải phương trình).
• Gắn liền với kỹ năng biến đổi, sử dụng các công thức logarit, tìm miền xác định, rút gọn, so sánh hoặc giải phương trình/ bất phương trình chứa logarit.

3. Chiến lược tổng quát khi tiếp cận bài toán hàm logarit

• Bước 1: Phân tích kỹ đề bài, xác định yêu cầu: tính giá trị, rút gọn, tìm điều kiện xác định, giải hoặc chứng minh.
• Bước 2: Ghi chú điều kiện xác định (CĐXĐ) của các biểu thức logarit liên quan.
• Bước 3: Áp dụng các công thức logarit cơ bản để biến đổi hoặc rút gọn biểu thức.
• Bước 4: Nếu là phương trình/bất phương trình logarit, chuyển đổi về dạng logarit cùng cơ số hoặc hằng số hoặc đưa về phương trình đại số.
• Bước 5: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định sau khi giải xong.

4. Hướng dẫn từng bước giải một bài toán hàm logarit (có ví dụ minh họa)

Ví dụ 1: Giải phương trình$\log_2(x-1) = 3$.

1. Bước 1: Xác định điều kiện xác định:$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.
2. Bước 2: Giải phương trình:
3. Ta có $\log_2(x-1) = 3 \Leftrightarrow x-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9$.
4. Bước 3: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định:$x = 9 > 1$nên nghiệm thỏa mãn.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức$A = \log_2 8 + 2\log_2 5 - \log_2 25$.

1. Bước 1: Áp dụng công thức:$\log_a b^k = k\log_a b$;
2. $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$;
3. $2\log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25$;
4. Suy ra$A = 3 + \log_2 25 - \log_2 25 = 3$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• $\log_a 1 = 0$(với$a > 0, a \neq 1$)
• $\log_a a = 1$
• $\log_a b^k = k\log_a b$
• $\log_a bc = \log_a b + \log_a c$
• $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
• Đổi cơ số:$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

6. Các dạng bài toán điển hình và cách điều chỉnh chiến lược

• Dạng tìm điều kiện xác định: Cần đảm bảo mọi biểu thức dưới dấu log đều dương.

• Dạng rút gọn biểu thức: Áp dụng linh hoạt các công thức biến đổi.

• Dạng giải phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số, sử dụng tính chất hàm đơn điệu, quy đồng, đặt ẩn phụ khi cần.

• Dạng bất phương trình logarit: Xét tính đồng biến/nghịch biến của hàm logarit, kiểm tra điều kiện.

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập: Giải bất phương trình$\log_2(x-2) > 3$.

1. Bước 1: Điều kiện xác định:$x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.
2. Bước 2: Giải bất phương trình:
3. $\log_2(x-2) > 3 \Leftrightarrow x-2 > 2^3 = 8 \Leftrightarrow x > 10$.
4. Bước 3: Kết hợp với điều kiện xác định. Vậy nghiệm là $x > 10$.

8. Bài tập luyện tập tự làm

• 1. Giải phương trình:$\log_3(x+2) = 2$.
• 2. Rút gọn:$\log_5 25 + \log_5 4 - 2\log_5 2$.
• 3. Tìm CĐXĐ:$y = \log_{x}x$.
• 4. Giải bất phương trình:$\log_{1/2}(3x-1) < 2$.
• 5. So sánh:$\log_4 8$và $\log_2 8$.

9. Mẹo, lưu ý để tránh sai lầm khi giải bài toán hàm logarit

• Luôn xác định điều kiện xác định trước khi giải, chỉ nhận những nghiệm thỏa điều kiện.
• Chú ý với dấu bất phương trình (logarit cơ số nhỏ hơn 1 sẽ đảo chiều khi so sánh).
• Linh hoạt biến đổi biểu thức logarit nhờ các công thức cơ bản.
• Tránh nhầm lẫn giữa phép nhân/chia và cộng/trừ qua các công thức logarit.
• Nếu có nhiều logarit khác cơ số, nên đổi về cùng một cơ số để dễ thao tác.

Kết luận

Trên đây là chiến lược tổng quát cùng ví dụ chi tiết về cách giải bài toán hàm logarit lớp 11. Nếu rèn luyện nhiều, ghi nhớ công thức và chú ý các điều kiện, logarit sẽ trở thành chủ đề "dễ thở" và học sinh sẽ tự tin hơn khi tiếp cận các đề kiểm tra - thi cuối kỳ hoặc THPT Quốc gia.