Chiến lược giải quyết bài toán hàm mũ $u_n = u_1 imes q^{n-1}$ lớp 11: Từ lý thuyết đến thực hành

1. Giới thiệu về bài toán hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$và tầm quan trọng

Hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$là biểu thức tổng quát của cấp số nhân (geometric progression) — một mảng kiến thức nền tảng trong toán lớp 11 và chương trình THPT. Dạng toán này thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi học kì và cả đề thi THPT Quốc gia. Hiểu và thành thạo cách giải loại bài toán này giúp học sinh nắm vững kiến thức đại số, phát triển tư duy logic toán học và chuẩn bị tốt cho các bậc học sau này.

2. Phân tích đặc điểm của loại bài toán

Cấu trúc cấp số nhân: Mỗi số hạng từ số hạng trước nhân với công bội$q$.

Dạng tổng quát:$u_n = u_1 \times q^{n-1}$, với$u_1$là số hạng đầu,$q$là công bội.

Dễ biến đổi: Cho phép giải nhanh các bài toán tìm số hạng, tính tổng, xét dấu hoặc xác định số hạng theo điều kiện.

Ứng dụng thực tế: Mô phỏng tăng trưởng lãi suất, sự phát triển vi sinh vật, truyền thông v.v.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$

Nhận diện bài toán: Xem có phù hợp với dạng cấp số nhân không.

Xác định số hạng đầu$u_1$, công bội$q$(từ dữ kiện hoặc tính toán).

Lập công thức tổng quát$u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Giải quyết yêu cầu: Tìm một số hạng, tổng các số hạng, tìm$n$, tìm$u_1, q$v.v.

Kiểm tra đáp số phù hợp điều kiện đề và nghiệm sinh ra có hợp lý không (dấu, giá trị...).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Xét ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có $u_1 = 3$,$q = 2$. Hãy tính$u_5$.

Bước 1: Xác định bài toán
Cấp số nhân có $u_1 = 3$,$q = 2$, cần tính$u_5$.

Bước 2: Áp dụng công thức tổng quát:
$u_n = u_1 \times q^{n-1}$

Bước 3: Thay số vào công thức:
$u_5 = 3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 3 \times 16 = 48$
Kết quả:$u_5 = 48$.

• Nếu đề bài hỏi ngược (cho$u_n$, tìm$n$), bạn chuyển phương trình về dạng giải số mũ:

Cho$u_n = 96$,$u_1 = 3$,$q = 2$. Tìm$n$.

Áp dụng công thức tổng quát:
$u_n = u_1 \times q^{n-1} \implies 96 = 3 \times 2^{n-1}$

Chia hai vế cho 3:
$32 = 2^{n-1}$

Đưa về cùng cơ số:
$2^{5} = 2^{n-1} \implies n-1 = 5 \implies n = 6$

5. Các công thức và kỹ thuật quan trọng cần nhớ

Số hạng tổng quát:$u_n = u_1 \times q^{n-1}$

Công bội:$q = \dfrac{u_n}{u_{n-1}}$

Số hạng bất kì:$u_k = u_1 \times q^{k-1}$

Số hạng$n$biết$u_m$:$u_n = u_m \times q^{n-m}$

Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$khi$q \neq 1$.

Giải phương trình số mũ: Đưa về cùng cơ số hoặc dùng logarit.

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Cho hai số hạng bất kỳ, tìm$u_1$và $q$: Lập hệ hai phương trình, giải tìm ẩn.
• Tìm số hạng thỏa mãn điều kiện: Chuyển về bài toán giải bất phương trình số mũ.
• Tính tổng các số hạng: Nhớ phân biệt$q = 1$(cấp số cộng lặp lại) và $q \neq 1$.
• Bài toán thực tế ứng dụng: Diễn giải bài toán về cấp số nhân, xác định các tham số rồi giải như thường.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài toán: Một cấp số nhân có $u_3 = 12$,$u_6 = 96$. Tìm$u_1$,$q$và số hạng tổng quát$u_n$.

Bước 1: Viết các hệ thức
$u_3 = u_1 \times q^{2} = 12$
$u_6 = u_1 \times q^{5} = 96$

Bước 2: Lập hệ phương trình:

Bước 3: Chia hai phương trình tương ứng:
$\dfrac{u_1 q^5}{u_1 q^2} = \dfrac{96}{12}$
$\Rightarrow q^{5-2} = 8 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$

Bước 4: Thay lại tìm$u_1$:
$u_1 = \dfrac{12}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3$

Bước 5: Viết số hạng tổng quát:
$u_n = 3 \times 2^{n-1}$

8. Bài tập thực hành tự luyện

- Bài 1: Cho$u_1 = 5$,$q = 3$. Tính$u_4$và $S_4$.
- Bài 2: Cấp số nhân có $u_2 = 8$,$u_5 = 64$. Tìm$u_1, q$.
- Bài 3: Cho$u_n = 7 \times 0.5^{n-1}$. Hỏi số hạng thứ mấy có giá trị nhỏ nhất hơn$1$?
- Bài 4: Cho hai số hạng liên tiếp$u_n$và $u_{n+1}$biết tổng hai số hạng này là $18$và $q = 2$. Tìm$u_n$,$u_{n+1}$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

Luôn xác định chính xác$u_1$và $q$trước khi áp dụng công thức.

Chú ý dấu của$q$: Nếu$q < 0$thì số hạng xen kẽ dấu.

Kiểm tra các điều kiện (số hạng dương, giá trị lớn/nhỏ hơn...) khi tìm$n$hoặc$u_n$.

Đừng quên các trường hợp đặc biệt khi$q = 1$.

Nếu số hạng nhỏ hoặc lớn (cực trị), thường phải chuyển sang giải bất phương trình số mũ.

Khi tìm tổng$n$số hạng cần đảm bảo$n$là số tự nhiên dương.

Hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$lớp 11 với chiến lược tổng thể, ví dụ minh họa, công thức cần nhớ, bài tập mẫu và bài tập luyện tập. Tối ưu hóa cho ôn thi THPT và luyện tư duy đại số.

Cách giải bài toán hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$lớp 11: Bí quyết, ví dụ và luyện tập

Tìm hiểu cách giải bài toán hàm mũ $u_n = u_1 \times q^{n-1}$lớp 11: phân tích lý thuyết, chiến lược giải nhanh, các công thức hay, bài tập mẫu và luyện tập chuẩn bị cho kiểm tra và thi THPT.

cách giải bài toán hàm mũ uₙ = u₁ * qⁿ⁻¹cấp số nhân toán 11công thức số hạng tổng quát cấp số nhântoán đại số lớp 11bài tập hàm mũkỹ thuật giải bài toán cấp số nhân

hàm mũ uₙ = u₁ * qⁿ⁻¹Toán 11Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhânBài 7: Cấp số nhânĐại sốTHPT

Lớp 11