Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán về Hàm số Logarit lớp 11: Hướng dẫn toàn diện và luyện tập miễn phí

T
Tác giả
•
•6 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán về hàm số logarit là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình toán lớp 11. Đặc điểm của dạng bài này là khai thác kiến thức về hàm số logarit, giới hạn tập xác định, khảo sát và vẽ đồ thị, cũng như xét các tính chất đồng biến, nghịch biến, cực trị và bài toán thực tế liên quan.

Các bài toán này xuất hiện với tần suất cao trong đề kiểm tra thường xuyên, giữa kỳ, cuối kỳ và đề thi học sinh giỏi cũng như trong kỳ thi THPT Quốc gia. Việc thành thạo giải quyết các bài toán hàm số logarit giúp học sinh không chỉ nâng cao điểm số mà còn củng cố nền tảng quan trọng cho các chuyên đề sau.

Hãy truy cập và luyện tập với 42.226+ bài tập cách giải Hàm số logarit miễn phí!

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dấu hiệu nhận biết bài toán hàm số logarit gồm: xuất hiện biểu thức logarit, ký hiệulog⁡ab\log_a b, yêu cầu lập bảng biến thiên, khảo sát, vẽ đồ thị hoặc giải các phương trình, bất phương trình logarit. Từ khóa thường gặp: "hàm số logarit", "tập xác định", "đạo hàm", "khảo sát", "đồng biến", "nghịch biến", "đồ thị", "cực trị". Cần phân biệt với mũ - biểu thức lôgarit là biểu thức có chứa hàm logarit, không phải hàm mũ.

2.2 Kiến thức cần thiết

  • Công thức logarit cơ bản:log⁡ab\log_a b,log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,log⁡axk=klog⁡ax\log_a x^k = k \log_a x.
  • Định nghĩa và điều kiện xác định của hàm số logarit:log⁡ax\log_a xxác định khix>0x>0,a>0a>0,a≠1a \neq 1.
  • Công thức đạo hàm:ddxlog⁡ax=1xln⁡a\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}.
  • Kỹ năng khảo sát, vẽ đồ thị, nhận biết tính đơn điệu, tìm cực trị.

    • Kiến thức này liên hệ chặt chẽ với hàm số mũ, giải phương trình bất phương trình chứa logarit, ứng dụng thực tiễn.

    3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Khoanh vùng loại bài: khảo sát, tìm tập xác định, giải phương trình...
  • Gạch chân số liệu, dữ kiện, câu hỏi yêu cầu – chú ý từ khóa định hướng.
  • Xác định đâu là điều kiện xác định (điều kiện của hàm logarit).

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Chọn phương pháp: bảng biến thiên, đạo hàm, giải phương trình quy đổi...
  • Phác thảo các bước chính (tìm ĐKXĐ, đạo hàm, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị...).
  • Dự đoán kết quả sơ bộ (dấu hiệu đặc trưng của hàm logarit…).

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Áp dụng công thức vào từng bước đã lên kế hoạch.
  • Tính toán cẩn thận, ghi chú rõ ràng các điều kiện xác định ở mỗi bước.
  • Đối chiếu kết quả cuối cùng với ĐKXĐ, chú ý nhận xét đặc điểm đồ thị/hàm số.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

    - Đặt điều kiện xác định trước.
    - Dùng bảng biến thiên sau khi tính đạo hàm.
    - Giải phương trình/bất phương trình logarit bằng quy đổi về cùng cơ số hoặc dùng tính chất lôgarit.

    Ưu điểm: Đơn giản, dễ áp dụng với mọi học sinh. Hạn chế: Có thể dài dòng với bài khó hoặc nhiều ý. Dùng khi mới làm quen hoặc gặp bài cơ bản/trung bình.

    4.2 Phương pháp nâng cao

    - Biến đổi nhanh bằng kỹ thuật nhẩm điều kiện logarit, phân tích biểu thức phức hợp hoặc đồ thị phụ trợ.
    - Sử dụng mẹo ghi nhớ:log⁡ab=ln⁡bln⁡a\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}, khai thác đạo hàm nhanh.
    - Tối ưu phép tính và kiểm tra nhanh điều kiện.

    Ứng dụng khi quen dạng bài, cần tốc độ giải cao (thi, kiểm tra thời gian ngắn).

    5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Đề bài. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=log⁡2(x−1)y = \log_2 (x - 1).

  • Bước 1. Điều kiện xác định:x−1>0⇒x>1x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1.
  • Bước 2. Tính đạo hàm:y′=1(x−1)ln⁡2y' = \frac{1}{(x-1)\ln 2}.
  • Bước 3. Xét tính đơn điệu:y′>0y'>0vớix>1x>1, hàm số đồng biến trên khoảng(1;+∞)(1; +\infty).
  • Bước 4. Bảng biến thiên, vẽ đồ thị theo các điểm đặc biệt.

    • Giải thích: Mỗi bước cần ghi nhớ điều kiện xác định, đạo hàm và nhận xét tính đơn điệu theo dấu đạo hàm.

    5.2 Bài tập nâng cao

    Đề bài: Giải phương trìnhlog⁡3(x2−2x)=2\log_3(x^2 - 2x) = 2.

  • Điều kiện:x2−2x>0⇔x<0x^2 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < 0hoặcx>2x > 2.
  • Đổi vế:x2−2x=9x^2 - 2x = 9.
  • Giải: x2−2x−9=0⇔x=1±10x^2 - 2x - 9 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{10}.
  • So sánh nghiệm với điều kiện xác định, chỉ lấy x=1+10>2x = 1 + \sqrt{10} > 2.

    • Có thể giải nhanh bằng đặt ẩn phụ, đổi cơ số hoặc phân tích điều kiện trước để loại nghiệm.

    6. Các biến thể thường gặp

  • Khảo sát hàm hợp:y=log⁡af(x)y = \log_a f(x). Chú ý tìm tập xác định từ f(x)f(x).
  • Bài toán về phương trình hoặc bất phương trình logarit phức tạp, cần biến đổi cơ số, ẩn phụ.
  • Kết hợp với hàm số mũ, các bài toán thực tiễn hoặc tối ưu.

    • 7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Quên điều kiện xác định, dẫn đến lấy nghiệm không hợp lệ.
  • Áp dụng sai công thức logarit hoặc đạo hàm.
  • Chữa: Ghi nhớ các bước bắt buộc, luôn kiểm tra ĐKXĐ cuối bài.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Tính toán nhầm dấuextlnext{ln}, lôgarit tự nhiên.
  • Làm tròn số quá sớm hoặc bỏ sót nghiệm.
  • Kiểm tra bằng cách thay nghiệm vào biểu thức ban đầu, rà lại điều kiện.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    - Hãy truy cập vào kho 42.226+ bài tập cách giải Hàm số logarit miễn phí của chúng tôi.
    - Không cần đăng ký, làm bài ngay và kiểm tra đáp án tự động.

    - Hệ thống hỗ trợ theo dõi tiến độ và gợi ý bài tập phù hợp với năng lực cá nhân, giúp bạn cải thiện kỹ năng vượt bậc.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Phân chia ôn tập mỗi tuần 2-3 buổi, mỗi buổi 30-45 phút.
  • Đầu tuần: Ôn lý thuyết, giữa tuần luyện bài cơ bản, cuối tuần làm bài nâng cao.
  • Đặt mục tiêu: làm đúng ít nhất 70% bài, nâng dần lên 90%
  • Đánh giá tiến bộ hàng tháng, xem lại các lỗi thường gặp và khắc phục.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".