1. Giới thiệu về bài toán hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$

Bài toán về hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$thực chất là bài toán về cấp số cộng (CSC) – một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Đây là kiến thức nền tảng rất quan trọng, ứng dụng nhiều trong thực tế, kiểm tra học kỳ, và đặc biệt là trong các kỳ thi lớn như THPT Quốc gia.

2. Phân tích đặc điểm của dạng bài toán này

- Dãy số dạng$u_n = u_1 + (n-1)d$có mỗi số hạng sau cách số hạng trước một lượng không đổi ($d$gọi là công sai). Dãy này còn gọi là cấp số cộng.
- Đặc trưng: Biết một vài thông tin về số hạng, công sai hoặc tổng, yêu cầu tìm số hạng tổng quát, số hạng cụ thể, công sai hoặc tổng các số hạng, số lượng số hạng thỏa mãn điều kiện.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Xác định đúng dãy số là cấp số cộng: Viết lại công thức số hạng tổng quát$u_n = u_1 + (n-1)d$.
• Dò tìm/bổ sung thông tin bài cho (ví dụ:$u_1$,$d$, một số hạng khác, tổng, số hạng thỏa mãn điều kiện,...)
• Lập hệ phương trình nếu cần thiết để xác định$u_1$,$d$.
• Sử dụng công thức số hạng tổng quát, tổng cấp số cộng nếu đề bài yêu cầu.

4. Các bước giải quyết chi tiết kèm ví dụ minh họa

Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết, cần tìm

Ví dụ: Cho dãy số $(u_n)$biết$u_3 = 7$,$u_6 = 16$. Hãy tìm$u_1$và công sai$d$, sau đó viết biểu thức$u_n$.
- Ta có:$u_3 = u_1 + 2d = 7$,$u_6 = u_1 + 5d = 16$

Bước 2: Thiết lập phương trình/ hệ phương trình tương ứng

Trừ hai phương trình:
$u_6 - u_3 = (u_1 + 5d) - (u_1 + 2d) = 3d$
$=> 16 - 7 = 3d \Rightarrow d = 3$

Bước 3: Tìm các đại lượng còn lại và viết kết luận số hạng tổng quát

Thay$d = 3$vào$u_3$:
$u_1 + 2 \times 3 = 7 \Rightarrow u_1 = 1$
- Suy ra biểu thức tổng quát:$u_n = 1 + (n-1)\times 3 = 3n - 2$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Công thức số hạng tổng quát:$u_n = u_1 + (n-1)d$
• Tìm công sai:$d = u_{n+1} - u_n$
• Tìm tổng$n$số hạng đầu:$S_n = \frac{n}{2}(u_1 + u_n)$hoặc$S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$
• Giải hệ hai phương trình hai ẩn với$u_1, d$khi biết hai số hạng hoặc tổng và số hạng.

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

• Chỉ cho$S_n$,$u_1$hoặc$u_k$: Lập hệ phương trình cho các đại lượng còn thiếu.
• Yêu cầu tìm số lượng số hạng thỏa mãn một điều kiện: Đặt điều kiện với$u_n$rồi giải bất phương trình nghiệm nguyên với$n$.
• Tìm số hạng cụ thể hoặc điều kiện về $d$,$u_1$ để dãy thỏa mãn một tính chất nào đó (tăng/giảm/...): Phân tích dựa trên dấu và tính biến thiên của$d$.

7. Bài tập mẫu giải chi tiết từng bước

Ví dụ 1: Cho$u_1 = 5$,$d = 2$. Tìm$u_{20}$và tổng 20 số hạng đầu.

-$u_{20} = u_1 + (20-1)d = 5 + 19 \times 2 = 43$

-$S_{20} = \frac{20}{2}[u_1 + u_{20}] = 10 \times (5+43) = 480$

Ví dụ 2: Cho$u_4 = 10$,$u_{10} = 34$. Tìm$u_1, d$và biểu thức$u_n$.

• Lập hệ:$u_4 = u_1 + 3d = 10$,$u_{10} = u_1 + 9d = 34$.
• Lấy$u_{10} - u_4 = (u_1 + 9d) - (u_1 + 3d) = 6d = 24 \Rightarrow d = 4$.
• Thế ngược lại:$u_1 + 3 \times 4 = 10 \Rightarrow u_1 = -2$.
• Biểu thức:$u_n = -2 + (n-1)\times 4 = 4n - 6$.

8. Bài tập thực hành

Bài 1: Cho dãy số $(u_n)$, biết$u_2 = 4$,$u_5 = 13$.
- a) Tìm$u_1$và $d$.
- b) Tính$u_{10}$và $S_{10}$.

Bài 2: Tìm$n$nhỏ nhất sao cho$u_n > 100$với$u_1 = 7$,$d = 6$.

Bài 3: Một cấp số cộng có tổng$20$số hạng đầu là $270$. Nếu$u_1 = 2$, hãy tìm$d$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý xác định đúng vị trí số hạng:$u_n = u_1 + (n-1)d$.
• Phải nhớ đúng thứ tự: Khi biết 2 số hạng, nên trừ để khử $u_1$rồi tìm$d$trước.
• Khi giải bất phương trình về $n$, nhớ làm tròn lên khi cần số hạng nguyên dương.
• Hệ số chỉ số trong$u_n$,$u_k$(ví dụ:$u_3$,$u_5$) cần thay đúng$(n-1)$,$(k-1)$.
• Tổng số hạng dùng được cả hai công thức$S_n$tuỳ dữ kiện ($u_1$và $u_n$hoặc$u_1$,$d$).
• Kiểm tra lại kết quả với điều kiện bài toán!

Tổng kết

Dạng bài toán hàm tuyến tính$u_n = u_1 + (n-1)d$là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 11, rất cần thiết cho kiểm tra và ôn thi. Nắm vững các bước giải, công thức, mẹo nhỏ và luyện tập nhiều dạng biến thể sẽ giúp bạn tự tin giải tốt mọi bài toán liên quan!