1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy xuất hiện rất nhiều trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt ở CHƯƠNG II – Dãy số. Dạng toán này thường có mặt trong các đề kiểm tra 15 phút, 1 tiết, đề thi học kỳ và đề thi thử THPT Quốc gia.

Tính đơn điệu của dãy là yếu tố then chốt để làm các bài về giới hạn, tìm cực trị và nghiên cứu chuỗi – nền tảng vững chắc để học giải tích sau này. Ngoài ra, luyện tập dạng này còn giúp rèn luyện logic toán học và tư duy hệ thống.

Bạn có thể luyện tập cách giải bài toán Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí với hơn 39.025+ bài tập phong phú và đa dạng trình độ.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

• Đề bài thường yêu cầu: “Chứng minh dãy
  $$\\{u_n\\}$$
  tăng (hoặc giảm)”, “Kiểm tra tính đơn điệu của dãy số”, “Dãy$u_n$có phải là dãy tăng/giảm không?”
• Từ khóa cần lưu ý: “đơn điệu”, “tăng”, “giảm”, “so sánh$u_{n+1}$và $u_n$”, “dãy số”
• Dạng bài thường gắn với dãy số (định nghĩa tường minh hoặc đệ quy). Dễ phân biệt với bài tập tìm số hạng tổng quát hoặc xét hội tụ.

2.2 Kiến thức cần thiết

• Định nghĩa dãy tăng, dãy giảm:$<br>\left\{u_n\right\}$tăng nếu$u_{n+1} > u_n$\forall n$, giảm nếu$u_{n+1} < u_n$\forall n$.
• Công thức liên hệ số hạng:$u_{n+1}$,$u_n$, biểu thức tổng quát hoặc đệ quy.
• Các phép biến đổi đại số: rút gọn, so sánh hai biểu thức, xét dấu sai phân$u_{n+1} - u_n$.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

• Đọc kỹ yêu cầu, xác định rõ đề đang hỏi kiểm tra tính tăng/giảm, hay tìm đoạn đơn điệu.
• Xác định dạng dãy: cấp số cộng, cấp số nhân, dạng hàm tổng quát, đệ quy, dạng đặc biệt.
• Tìm mọi giả thiết, khẳng định và dữ liệu cần dùng.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

• Lựa chọn phương pháp: tính sai phân$u_{n+1} - u_n$, so sánh$\frac{u_{n+1}}{u_n}$, hoặc phân tích dấu.
• Sắp xếp các bước: viết biểu thức cần kiểm tra, biến đổi về dạng đơn giản.
• Dự đoán tính chất đơn điệu dựa trên dạng dãy (nghi ngờ dãy tăng/giảm).

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

• Thay số hoặc biến vào$u_{n+1} - u_n$hoặc$\frac{u_{n+1}}{u_n}$, rút gọn biểu thức.
• Kiểm tra dấu của kết quả:$> 0$(tăng),$< 0$(giảm),$=0$(không đổi).
• Viết kết luận và kiểm tra lại (có áp dụng cho mọi$n$không?, có cần điều kiện phụ không?).

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

Cách tiếp cận truyền thống là tính hiệu$u_{n+1} - u_n$:

• Nếu$u_{n+1} - u_n > 0$\forall n$u_{n+1} - u_n < 0$\forall n" data-math-type="inline"> , dãy tăng.<!--LATEX_PROCESSED_1753810618390--></li><li>Nếu<span class="math-inline"><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>u</mi><mi>n</mi></msub><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mrow><annotation encoding="application/x-tex">u_{n+1} - u_n &lt; 0</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:0.7917em;vertical-align:-0.2083em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.3011em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span><span class="mbin mtight">+</span><span class="mord mtight">1</span></span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.2083em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span><span class="mbin">−</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2222em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6891em;vertical-align:-0.15em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathnormal">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.1514em;"><span style="top:-2.55em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathnormal mtight">n</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.15em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span><span class="mrel">&lt;</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:0.6444em;"></span><span class="mord">0</span></span></span></span></span>\forall n
• Nếu$u_{n+1} - u_n < 0$\forall n$ , dãy giảm.

Ưu điểm: đơn giản, phù hợp với đa số bài tập. Nhược điểm: có thể phức tạp với dãy có biểu thức “nặng”, cần biến đổi nhiều.

4.2 Phương pháp nâng cao

• So sánh tỷ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$(áp dụng với dãy số dương): nếu$\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$\rightarrow$dãy tăng.
• Sử dụng bất đẳng thức, kiểm tra với bài toán có điều kiện phụ, hoặc áp dụng toán đồng biến nghịch biến với hàm số tổng quát.

Mẹo nhớ: Luôn đặt dấu hỏi về “dãy tăng/giảm với mọi$n$hay chỉ với$n$ đủ lớn”, lưu ý bài toán trộn nhiều tính chất.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Xét dãy$u_n = 3n + 2$. Chứng minh dãy$u_n$là dãy số tăng.

- Bước 1:Tính hiệu$u_{n+1} - u_n$:

$u_{n+1} = 3(n+1)+2 = 3n + 5$

$u_{n+1} - u_n = (3n+5) - (3n+2) = 3$

- Bước 2:Vì $u_{n+1} - u_n = 3 > 0$với mọi$n$, nên$u_n$là dãy tăng.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Xét dãy$u_n = \frac{n}{n+2}$. Dãy$u_n$là dãy tăng hay giảm? Giải thích.

- Bước 1:Tính hiệu$u_{n+1} - u_n$:

$u_{n+1} = \frac{n+1}{n+3}$

$u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+3} - \frac{n}{n+2} = \frac{(n+1)(n+2) - n(n+3)}{(n+3)(n+2)}$

$= \frac{n^2+3n+2 - n^2-3n}{(n+3)(n+2)} = \frac{2}{(n+3)(n+2)} > 0$với mọi$n \geq 1$.

=> Dãy$u_n$tăng với mọi$n \geq 1$.

6. Các biến thể thường gặp

• Dãy số có điều kiện xuất hiện trong$u_n$(chẳng hạn$n \geq 2$).
• Dãy số định nghĩa đệ quy, cần dùng toán quy nạp hoặc bất đẳng thức.

Chiến lược: Phân tích bài kỹ hơn, kiểm tra điều kiện áp dụng hoặc giải riêng cho từng đoạn dãy.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

• Chọn sai phương pháp (dùng sai phân cho dãy không phù hợp).
• Lạm dụng bất đẳng thức, bỏ qua điều kiện$n$hoặc tính chất dãy.

7.2 Lỗi về tính toán

• Rút gọn sai, nhầm dấu hiệu hoặc mẫu số.
• Không kiểm tra lại kết quả trên nhiều giá trị $n$.

Biện pháp: Làm bài thật cẩn thận, luôn kiểm tra lại kết quả bằng các giá trị cụ thể.

8. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập kho bài tập cách giải Kiểm tra tính đơn điệu (tăng/giảm) của dãy miễn phí với hơn 39.025+ bài mẫu, không cần đăng ký tài khoản. Hệ thống tự động chấm điểm, giải thích chi tiết từng bước và lưu lại tiến trình – giúp bạn luyện tập, củng cố kiến thức và cải thiện kỹ năng giải toán hiệu quả.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

• Mỗi tuần: Dành 2 buổi ôn luyện, mỗi buổi 45-60 phút cho loại bài kiểm tra tính đơn điệu của dãy.
• Đặt mục tiêu: Làm thành thạo 5 dạng bài từ cơ bản đến nâng cao mỗi tuần.
• Đánh giá tiến độ: Cuối mỗi tuần tổng hợp những lỗi thường mắc, ghi lại các mẹo giải nhanh và tổng hợp công thức.