1. Giới thiệu về bài toán mẫu số liệu ghép nhóm

Bài toán về mẫu số liệu ghép nhóm là một chủ đề trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11, thường thuộc chuyên đề Thống kê. Đối với dạng bài này, dữ liệu được phân chia thành các nhóm (lớp), mỗi nhóm có khoảng giá trị xác định và số liệu đi kèm (số lượng hoặc tần số). Loại bài toán này giúp học sinh hiểu rõ cách tổ chức, xử lý thông tin thực tế, tính các đại lượng như trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn... Đây là kiến thức thiết yếu để giải quyết các bài toán thực tiễn, luyện thi học kỳ, và là nền tảng vững chắc cho các môn học sau này.

2. Đặc điểm của bài toán mẫu số liệu ghép nhóm

- Dữ liệu được phân theo các khoảng giá trị liên tục, gọi là các nhóm/lớp, ví dụ khoảng [10;20), [20;30),...

- Với mỗi nhóm, ta biết số lượng phần tử (tần số $n_i$) hoặc tỉ lệ phần trăm.

- Trong mỗi nhóm, giá trị đặc trưng thường dùng là "trung điểm nhóm" ($x_i$), được tính bằng:$x_i = \frac{a_i + b_i}{2}$, với$[a_i; b_i)$là khoảng của nhóm thứ $i$.

- Thường quan tâm đến các đại lượng: số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Đọc kỹ đề bài, xác định các nhóm dữ liệu và tần số tương ứng ($n_i$).
• Xác định trung điểm mỗi nhóm ($x_i$), tổng số phần tử ($N = \sum n_i$).
• Áp dụng các công thức đã học để tính các đại lượng được yêu cầu (trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn, v.v).
• Nếu cần tìm đặc điểm vị trí (trung vị, mốt), xác định nhóm chứa trung vị/mốt bằng cách sử dụng tổng tần số tích lũy.
• Kiểm tra lại kết quả và cách làm, lưu ý các sai lầm thường gặp (sai trung điểm, nhầm nhóm, sai công thức,...)

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Một lớp học có điểm kiểm tra Toán được phân thành các nhóm như sau:

| Nhóm điểm | Số học sinh | |--------------|----------|| [2; 4) | 3 || [4; 6) | 4 || [6; 8) | 10 || [8; 10] | 3 |

Yêu cầu: Tính điểm trung bình cộng, ước lượng điểm trung vị, điểm mốt cho lớp trên.

Bước 1: Tìm trung điểm nhóm ($x_i$) và tổng số học sinh ($N$).

- [2; 4):$x_1 = \frac{2+4}{2} = 3$

- [4; 6):$x_2 = 5$; [6; 8):$x_3 = 7$; [8; 10]:$x_4 = 9$

Tổng số học sinh:$N = 3 + 4 + 10 + 3 = 20$

Bước 2: Tính điểm trung bình cộng ($\overline{x}$)

Áp dụng công thức: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$

$\overline{x} = \frac{3 \times 3 + 4 \times 5 + 10 \times 7 + 3 \times 9}{20}$

$= \frac{9 + 20 + 70 + 27}{20} = \frac{126}{20} = 6.3$

Bước 3: Tìm nhóm chứa trung vị (Median) và tính xấp xỉ trung vị.

-$N = 20 \Rightarrow \frac{N}{2} = 10$; gộp tần số tích lũy:

[2;4): 3, [4;6): 7, [6;8): 17, [8;10]: 20

- Tần số tích lũy đến [4;6): 7, đến [6;8): 17 nên trung vị nằm trong nhóm [6;8).

Sử dụng công thức trung vị cho dữ liệu ghép nhóm:

$Me = a + \frac{\frac{N}{2} - F}{n_{med}} \cdot d$

Trong đó:

• $a$: cận dưới nhóm chứa trung vị ($a = 6$).
• $F$: tần số tích lũy nhóm trước nhóm trung vị ($F=7$).
• $n_{med}$: tần số nhóm chứa trung vị ($n_{med} = 10$).
• $d$: độ dài nhóm ($8 - 6 = 2$).

Thay vào ta có:

$Me = 6 + \frac{10 - 7}{10} \times 2 = 6 + 0.6 = 6.6$

Bước 4: Tìm nhóm mốt (Mode) và tính xấp xỉ mốt.

- Nhóm có tần số lớn nhất là [6;8) với 10 học sinh.

Công thức mốt dữ liệu ghép nhóm:

$Mo = a + \frac{n_1}{n_1 + n_2} d$

Trong đó:

• $a$: cận dưới nhóm mốt ($a=6$)
• $n_1$: chênh lệch giữa tần số nhóm mốt với nhóm trước đó ($n_1 = 10 - 4 = 6$)
• $n_2$: chênh lệch giữa tần số nhóm mốt với nhóm sau đó ($n_2=10-3=7$)
• $d$: độ dài nhóm ($2$)

Thay số:$Mo = 6 + \frac{6}{6+7} \times 2 = 6 + \frac{6}{13} \times 2 \approx 6.923$

Đáp số: Trung bình cộng$6.3$, Trung vị $6.6$, Mốt$6.92$

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Trung bình cộng: $\overline{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$
• Trung vị:$Me = a + \frac{\frac{N}{2} - F}{n_{med}} \cdot d$
• Mốt:$Mo = a + \frac{n_1}{n_1 + n_2} d$
• Phương sai: $s^2 = \frac{\sum n_i x_i^2}{N} - (\overline{x})^2$
• Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{s^2}$

6. Các biến thể bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Dữ liệu có thể cho kèm phần trăm hoặc tỉ lệ, khi đó ta quy đổi về số lượng thực tế.

- Nhóm cuối có thể là khoảng mở (ví dụ: "Lớn hơn 10"), với các yêu cầu đặc biệt khi tính mốt/trung vị.

- Lưu ý khi nhóm có độ dài không đều, các công thức về trung vị, mốt cần sử dụng đúng độ rộng nhóm thực tế ($d$).

- Với phương sai, có thể yêu cầu tính$n_i x_i^2$, cần lập thêm bảng phụ trợ.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết theo từng bước

Bài tập: Hãy cho bảng số liệu về số sách đọc trong tuần của học sinh lớp 11A:

| Số sách | Số học sinh ||----------|---------|| [0;2) | 6 || [2;5) | 12 || [5;7) | 8 || [7;10) | 4 |

Hãy tính số sách đọc trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn (làm tròn 2 chữ số thập phân).

Lời giải từng bước:

Bước 1: Trung điểm nhóm:

- [0;2):$1$; [2;5):$3.5$; [5;7):$6$; [7;10):$8.5$

Tính$n_i x_i$và $n_i x_i^2$(lập bảng phụ):

| Nhóm |$n_i$|$x_i$|$n_i x_i$|$n_i x_i^2$|
|--------|------|------|----------|-------------|
| [0;2) | 6 | 1 | 6 | 6 |
| [2;5) | 12 | 3.5 | 42 | 147 |
| [5;7) | 8 | 6 | 48 | 288 |
| [7;10) | 4 | 8.5 | 34 | 289 |
Tổng: 30 130 730

Trung bình:$\overline{x} = \frac{130}{30} \approx 4.33$sách

Xác định$N = 30$,$N/2 = 15$.
Tần số tích lũy: [0;2): 6, [2;5): 18, [5;7): 26, [7;10): 30.
Trung vị nằm trong nhóm [2;5).

Áp dụng công thức:$a = 2; F = 6; n_{med} = 12; d=3$

$Me = 2 + \frac{15-6}{12} \times 3 = 2 + 2.25 = 4.25$sách

Phương sai:$s^2 = \frac{730}{30} - (4.33)^2 \approx 24.33 - 18.75 = 5.58$

Độ lệch chuẩn: $\sigma = \sqrt{5.58} \approx 2.36$

Đáp số: Trung bình$4.33$sách, trung vị $4.25$sách, độ lệch chuẩn$2.36$

8. Bài tập thực hành để học sinh tự luyện

Bài 1: Một công ty thống kê số giờ làm thêm trong tháng của các nhân viên (số liệu đã ghép nhóm):
| Số giờ | Số nhân viên |
|---------|--------------|
| [0;10) | 5 |
| [10;20) | 12 |
| [20;30) | 15 |
| [30;40) | 8 |
a) Tính số giờ làm thêm trung bình của nhân viên.
b) Ước lượng trung vị và độ lệch chuẩn (làm tròn đến 2 chữ số).

Bài 2: Bảng thống kê chiều cao (cm) của học sinh lớp 11:
| Chiều cao | Số học sinh |
|------------|-------------|
| [150;155) | 4 |
| [155;160) | 8 |
| [160;165) | 12 |
| [165;170) | 10 |
Tìm chiều cao trung bình, trung vị, mốt.

Bài 3: Thống kê điểm thi học kỳ môn Hóa học:
| Điểm | Số học sinh |
|---------|-------------|
| [1;4) | 2 |
| [4;7) | 6 |
| [7;9) | 12 |
| [9;10] | 5 |
Tính điểm trung bình cộng, trung vị, và độ lệch chuẩn.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định đúng trung điểm nhóm, đặc biệt khi khoảng nhóm không đối xứng.
• Cẩn thận kiểm tra tổng số phần tử $N$, tránh nhầm khi cộng tần số.
• Chỉ áp dụng công thức trung vị và mốt cho dữ liệu ghép nhóm khi số phần tử lớn và nhóm có độ dài hợp lý.
• Thường xuyên lập bảng phụ để tính$n_i x_i$và $n_i x_i^2$.
• Làm tròn kết quả theo yêu cầu, ghi rõ đơn vị.
• Hiểu ý nghĩa thực tế của các đại lượng thống kê để kiểm tra tính hợp lý.