Chiến lược giải quyết bài toán Nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian (Toán 11)

1. Giới thiệu về bài toán nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Trong chương VII "Quan hệ vuông góc trong không gian" của chương trình Toán 11, việc nhận biết hai đường thẳng vuông góc là một dạng cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng. Dạng bài này giúp học sinh phát triển tư duy hình học không gian, khả năng tưởng tượng và vận dụng linh hoạt các kỹ năng suy luận. Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc là nền tảng cho các bài toán chứng minh hình học khác phức tạp hơn.

2. Đặc điểm của bài toán nhận biết hai đường thẳng vuông góc

- Câu hỏi thường gặp: Cho hai đường thẳng$a$,$b$trong không gian, hãy chứng minh$a \perp b$.

- Có thể hai đường thẳng cắt nhau, chéo nhau hoặc đặt trong các vị trí đặc biệt của hình chóp, lăng trụ.

- Thường yêu cầu vận dụng các định nghĩa, định lý về vuông góc, song song, và các yếu tố phụ trợ như mặt phẳng trung gian.

3. Chiến lược tổng thể giải quyết bài toán

Để giải quyết bài toán nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian, học sinh nên tuân theo các bước chiến lược sau:

- Nhận diện vị trí hai đường thẳng: Cắt nhau, chéo nhau hay vuông góc theo hình vẽ.

- Phân tích bài toán, vẽ hình rõ ràng, xác định vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng, mặt phẳng liên quan.

- Tìm hoặc dựng mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng và sử dụng các định lý liên quan.

- Chuyển về bài toán vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hoặc giữa hai đường thẳng cắt nhau.

- Sử dụng tích vô hướng của vectơ chỉ phương nếu bài toán cho tọa độ.

- Luôn diễn giải rõ ràng, giải thích từng bước bằng lý thuyết đã học.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp$S.ABC$, tam giác$ABC$vuông tại$B$. Gọi$H$là hình chiếu vuông góc của$S$lên mặt phẳng$(ABC)$. Chứng minh$SH$vuông góc với$AB$.

- Bước 1: Vẽ hình và xác định các yếu tố đề cho: Vẽ hình chóp$S.ABC$, xác định$H$trên$(ABC)$sao cho$SH \perp (ABC)$. Khi đó $SH$là đường cao từ đỉnh$S$xuống đáy.

- Bước 2: Xét quan hệ vuông góc: Vì $SH \perp (ABC)$, nên$SH$vuông góc với mọi đường nằm trong$(ABC)$ đi qua$H$, do đó $SH \perp AB$nếu$H \in AB$.

- Bước 3: Kết luận: Ta đã chỉ ra $SH \perp AB$do$SH \perp (ABC)$và $AB \subset (ABC)$, $H \in AB$.

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng$d_1$ đi qua$A(1;2;0)$, có vectơ chỉ phương$\vec{u}_1 = (1;0;2)$và đường thẳng$d_2$qua$B(0;2;3)$, có vectơ chỉ phương$\vec{u}_2 = (2;-1;1)$. Hãy kiểm tra$d_1$và $d_2$có vuông góc không?

- Bước 1: Xét tích vô hướng hai vectơ chỉ phương:

$<br />\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \times 2 + 0 \times (-1) + 2 \times 1 = 2 + 0 + 2 = 4<br />$
Vì tích vô hướng khác$0$nên hai đường thẳng không vuông góc.

- **Bước 2: Nếu tích vô hướng bằng$0$, hai đường thẳng có chỉ phương vuông góc => hai đường thẳng vuông góc nhau (nếu đồng thời cắt nhau hoặc chéo nhau).

- **Bước 3: Nếu hai đường thẳng không thuộc một mặt phẳng, chỉ dựa vào chỉ phương là chưa đủ, cần kiểm tra thêm vị trí tương đối.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Hai đường thẳng vuông góc khi vectơ chỉ phương của chúng có tích vô hướng bằng$0$:
$<br />\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 0<br />$

- Đường thẳng$a$vuông góc với đường thẳng$b$nếu:
+ Chúng cắt nhau tại một điểm và tạo với nhau góc$90^{\circ}$(theo định nghĩa),
+ Hoặc một trong hai là vuông góc với mặt phẳng chứa đường còn lại và đi qua đỉnh giao.

- Lưu ý các định lý:
+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng trên mặt phẳng đó qua chân vuông góc.
+ Định lý về 3 đường thẳng đôi một vuông góc.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Hai đường thẳng cắt nhau: Dùng trực tiếp định nghĩa và vectơ chỉ phương.

- Hai đường thẳng chéo nhau hoặc không cắt: Phải chứng minh đồng thời chỉ phương vuông góc và kiểm tra vị trí tương đối.

- Một đường nằm trong mặt phẳng, một đường ngoài mặt phẳng: Phải tìm mặt phẳng trung gian hoặc điểm giao chung.

- Những bài không gian hình học thuần túy, không có tọa độ: Phải vận dụng định nghĩa, định lý, vẽ hình rõ ràng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$, chứng minh$AB \perp A'D'$.

- Bước 1: Vẽ hình và xác định vị trí:$AB$là cạnh đáy phía trước,$A'D'$là cạnh trên đỉnh đối diện.

- Bước 2: Chọn hệ tọa độ: Gắn tọa độ $A(0,0,0)$,$B(1,0,0)$,$A'(0,0,1)$,$D'(0,1,1)$.

- Bước 3: Lập vectơ chỉ phương:

$\vec{AB} = (1,0,0)$,
$\vec{A'D'}=(0,1,0)$

- Bước 4: Tính tích vô hướng:
$<br />\vec{AB} \cdot \vec{A'D'} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 0<br />$
Vậy$AB \perp A'D'$.

8. Bài tập tự luyện

a) Cho lăng trụ tam giác đều$ABC.A'B'C'$, chứng minh$AB \perp A'C'$.

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho$d_1: (x, y, z) = (1,2,3) + t(1,1,0)$và $d_2: (x, y, z) = (2,0,1) + s(0,1,-1)$.$d_1$và $d_2$có vuông góc không?

c) Cho hình chóp$S.ABC$,$SA \perp (ABC)$,$AB \perp BC$. Chứng minh$SA \perp BC$.

9. Mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

- Luôn vẽ hình không gian cẩn thận, đặt tên các điểm và các yếu tố dễ nhận biết.

- Kiểm tra kỹ vị trí hai đường thẳng: Cắt, chéo hay song song trước khi kết luận.

- Nếu dùng vectơ chỉ phương, phải đảm bảo hai đường thẳng có thể cắt nhau hoặc kiểm tra vị trí chéo.

- Không nhầm lẫn giữa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với một đường khác trên mặt phẳng.

- Khi chứng minh phải dẫn dắt hợp lý, nêu rõ dụng ý dùng định lý hay tính chất nào trong từng bước.

Hy vọng hướng dẫn trên giúp các em nắm vững "cách giải bài toán nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian". Hãy luyện tập thật nhiều dạng bài tập khác nhau để làm chủ kiến thức này nhé!

Từ khóa SEO liên quan

• cách giải bài toán nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong không gian
• phương pháp nhận biết hai đường thẳng vuông góc
• luyện tập nhận biết đường thẳng vuông góc trong không gian
• bài tập hai đường thẳng vuông góc trong không gian lớp 11