Chiến lược giải quyết bài toán nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc (Toán 11)

1. Giới thiệu về bài toán nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Trong hình học không gian lớp 11, "Nhận biết và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc" là một dạng toán quan trọng, mở đầu cho các bài toán liên quan đến mối quan hệ vuông góc giữa các yếu tố trong không gian. Dạng toán này xuất hiện thường xuyên trong các đề kiểm tra, đề thi học sinh giỏi và cả kỳ thi THPT quốc gia. Việc thành thạo dạng toán này sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về quan hệ trong không gian, hệ quả vuông góc của đường, mặt và rèn luyện suy luận lôgic hình học.

2. Đặc điểm nhận biết của dạng toán hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng$(P)$và $(Q)$ được gọi là vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc$(P)$vuông góc với mọi đường thẳng thuộc$(Q)$tại điểm giao nhau. Thông thường, dạng bài toán này yêu cầu nhận biết và chứng minh$(P) \perp (Q)$thông qua các dấu hiệu nhận biết, ví dụ như thông qua các đường thẳng vuông góc hoặc các mối quan hệ trung gian.

• Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến$riangle$, cần chứng minh một đường thuộc$(P)$vuông góc với một đường thuộc$(Q)$tại điểm chung.
• Một mặt phẳng chứa đường vuông góc đối với mặt phẳng kia tại một điểm chung.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán

1. Bước 1: Xác định rõ hai mặt phẳng cần xét và giao tuyến (nếu có)
2. Bước 2: Tìm các đường thẳng thuận lợi nằm trong mỗi mặt phẳng, đặc biệt là đường vuông góc với giao tuyến
3. Bước 3: Chứng minh tồn tại hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với nhau
4. Bước 4: Vận dụng các định lý, dấu hiệu và mối quan hệ trung gian để chứng minh
5. Bước 5: Kết luận bằng cách liên hệ với định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông tại$B$,$SA$vuông góc với mặt phẳng đáy$(ABC)$. Chứng minh$(SAB) \perp (SBC)$.

1. Bước 1: Xác định hai mặt phẳng$(SAB)$và $(SBC)$, giao tuyến$SB$.
2. Bước 2: Tìm trong $(SAB)$một đường vuông góc với$SB$tại$B$là $AB$ ($AB \subset (SAB)$).
3. Bước 3: Tìm trong $(SBC)$một đường đi qua$B$và vuông góc với$SB$, đó là $BC$ ($BC \subset (SBC)$vì đáy vuông tại$B$).
4. Bước 4: Nhận thấy$AB \perp BC$tại$B$(do$ABC$vuông tại$B$), và $AB$,$BC$lần lượt thuộc hai mặt phẳng cần chứng minh. Sử dụng định lý: Nếu qua điểm thuộc giao tuyến, kẻ hai đường lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc tại giao điểm thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
5. Bước 5: Kết luận:$(SAB) \perp (SBC)$.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Định nghĩa: Hai mặt phẳng $(P)$và $(Q)$vuông góc nếu tồn tại đường thẳng$d_1 \subset (P)$và $d_2 \subset (Q)$, $d_1, d_2$cắt nhau tại$O$, đồng thời $d_1 \perp d_2$.
• Nếu qua giao điểm$O$của hai mặt phẳng$(P)$,$(Q)$, dựng được$d_1$,$d_2$lần lượt thuộc$(P)$,$(Q)$và $d_1 \perp d_2$thì $(P) \perp (Q)$.
• Nếu mặt phẳng$(P)$chứa đường thẳng$d$vuông góc với mặt phẳng$(Q)$thì $(P) \perp (Q)$.
• Ký hiệu góc giữa hai mặt phẳng:$\angle ((P),(Q))$là góc giữa hai đường thẳng vuông góc tại giao điểm chung nằm trong hai mặt phẳng.

6. Biến thể và điều chỉnh chiến lược

Đối với bài toán hai mặt phẳng vuông góc, có thể gặp những trường hợp sau:

1. Giao tuyến của hai mặt phẳng đã biết: Chứng minh lấy hai đường thuộc hai mặt phẳng vuông góc tại điểm chung.
2. Một trong hai mặt phẳng được xác định như một mặt phẳng trung gian, hãy chứng minh mặt trung gian vuông góc với đường nằm ở mặt phẳng còn lại.
3. Khai thác các đường cao, các đoạn vuông góc nổi bật như trong hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương,...

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết từng bước

Bài toán: Cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh rằng$(ABB'A') \perp (BCC'B')$.

1. Xác định hai mặt phẳng$(ABB'A')$và $(BCC'B')$.
2. Nhận thấy hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến$BB'$.
3. Trong $(ABB'A')$, $AB \subset (ABB'A')$vuông góc với$BB'$tại$B$.
4. Trong $(BCC'B')$, $BC \subset (BCC'B')$vuông góc với$BB'$tại$B$.
5. Ta có $AB \perp BC$(vì là hai cạnh kề vuông góc của hình hộp).
6. Do đó, $AB \subset (ABB'A')$, $BC \subset (BCC'B')$và $AB \perp BC$tại$B$.
7. Áp dụng định lý, kết luận$(ABB'A') \perp (BCC'B')$.

8. Bài tập thực hành

1. Cho hình lăng trụ đứng$ABC.A'B'C'$, đáy$ABC$là tam giác đều. Chứng minh$(ABC') \perp (A'B'C')$.
2. Cho tứ diện$ABCD$có $AB \perp CD$và $AC \perp BD$. Chứng minh$(ABC) \perp (BCD)$.
3. Cho hình chóp$S.ABCD$có đáy là hình vuông và $SA \perp (ABCD)$. Xác định và chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong hình chóp này.

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Chú ý xác định giao tuyến hai mặt phẳng trước rồi mới tìm đường vuông góc.
• Không nên nhầm lẫn giữa quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng và quan hệ vuông góc hai mặt phẳng.
• Tận dụng các đường cao, trung tuyến, cạnh của các hình đặc biệt như lăng trụ, hình hộp, hình chóp.
• Khi luận chứng, phải chỉ rõ hai đường vuông góc lần lượt thuộc hai mặt phẳng.
• Đôi khi cần kết hợp nhiều định lý phụ hoặc xây dựng thêm các đường phụ để làm rõ mối quan hệ vuông góc.
• Luôn vẽ hình rõ ràng, ghi rõ ký hiệu giao tuyến và các đường vuông góc.