1. Giới thiệu về bài toán nhận diện vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong hình học không gian lớp 11, bài toán nhận diện vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là một kiến thức trọng tâm. Để giải quyết các bài toán về quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, học sinh cần nắm vững lý thuyết, các khái niệm và kỹ năng phân tích hình học.

Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng là cơ sở để giải quyết các bài toán phức tạp hơn về hình học không gian. Do đó, việc thành thạo loại bài toán này sẽ giúp các em học sinh xây dựng tư duy logic, kỹ năng phân tích và lập luận toán học.

2. Đặc điểm và phân loại vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Có ba vị trí tương đối cơ bản giữa đường thẳng$d$và mặt phẳng$(P)$:

• Đường thẳng$d$nằm trong mặt phẳng$(P)$.
• Đường thẳng$d$song song với mặt phẳng$(P)$.
• Đường thẳng$d$cắt mặt phẳng$(P)$tại một điểm duy nhất (đường thẳng xuyên qua mặt phẳng).

3. Chiến lược tổng thể để giải quyết bài toán

Để xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, hãy tuân thủ các bước sau:

1. Biểu diễn chính xác phương trình của đường thẳng và mặt phẳng.
2. Phân tích quan hệ giữa phương của đường thẳng và phương của mặt phẳng.
3. Xử lý các trường hợp đặc biệt (nằm trong mặt phẳng, song song, cắt tại 1 điểm).

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh hoạ

Bước 1: Lập phương trình tham số đường thẳng và mặt phẳng

- Đường thẳng$d$thường được cho bởi dạng tham số:

- Mặt phẳng$(P)$cho bởi dạng tổng quát:$Ax + By + Cz + D = 0$

Bước 2: So sánh vectơ chỉ phương đường thẳng và vectơ pháp tuyến mặt phẳng

- Vectơ chỉ phương của$d$là $\vec{u} = (a, b, c)$
- Vectơ pháp tuyến của$(P)$là $\vec{n} = (A, B, C)$

Kiểm tra tích vô hướng$\vec{u} \cdot \vec{n} = aA + bB + cC$.

Bước 3: Phân biệt các trường hợp dựa vào tích vô hướng

- Nếu $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$⇒ Đường thẳng$d$song song hoặc nằm trong mặt phẳng$(P)$.
+ Thay điểm trên đường thẳng $d$vào phương trình mặt phẳng:
- Nếu thoả mãn:$d \subset (P)$(nằm trong).
- Nếu không:$d \parallel (P)$ (song song không trùng).

- Nếu$\vec{u} \cdot \vec{n} \ne 0$⇒$d$cắt$(P)$tại một điểm duy nhất.

Ví dụ minh hoạ chi tiết

Cho

và mặt phẳng$(P): 2x - y + z - 1 = 0$.

Bước 1: Xác định chỉ phương và pháp tuyến:
- Chỉ phương$\vec{u} = (2, 1, -1)$
- Pháp tuyến$\vec{n} = (2, -1, 1)$

Bước 2: Tính tích vô hướng:

$\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 \times 2 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1 = 4 - 1 - 1 = 2 \ne 0$

Bước 3: Kết luận:$d$cắt$(P)$tại một điểm duy nhất.

Có thể xác định toạ độ giao điểm bằng cách thay phương trình tham số vào mặt phẳng:
$2(x) - y + z - 1 = 0 <br /> \Rightarrow 2(1 + 2t) - [ -1 + t ] + [ 3 - t ] - 1 = 0 <br /> \Rightarrow 2 + 4t + 1 - t + 3 - t - 1 = 0 <br /> \Rightarrow (4t - t - t) + (2+1+3-1) = 0<br /> \Rightarrow 2t + 5 = 0<br /> \Rightarrow t = -\frac{5}{2}$

Thay$t = -\frac{5}{2}$vào$d$, tìm được điểm giao.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

- Tích vô hướng$\vec{u} \cdot \vec{n}$ để kiểm tra góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Thay toạ độ điểm trên đường thẳng vào phương trình mặt phẳng để kiểm tra điểm thuộc.
- Phương trình tham số đường thẳng và phương trình mặt phẳng dạng tổng quát.

6. Các biến thể và cách điều chỉnh chiến lược

Các dạng biến thể thường gặp:

• Không cho sẵn phương trình, mà cho qua các điểm/vectơ (cần lập phương trình tham số hoặc tổng quát).
• Cho đường thẳng/mặt phẳng qua giao điểm của hai mặt phẳng, hai đường,... (cần vận dụng kiến thức xử lý giao tuyến, đường song song, v.v.).
• Yêu cầu tìm khoảng cách, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (áp dụng thêm công thức khoảng cách và góc trong không gian).

Chiến lược chung là đưa về dạng tiêu chuẩn để áp dụng các kỹ thuật ở trên.

7. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập: Cho đường thẳng

và mặt phẳng$(Q): x + 2y - 4z + 5 = 0$.

Giải:
- Vectơ chỉ phương$\vec{u} = (1, -1, 4)$
- Pháp tuyến$\vec{n} = (1, 2, -4)$

Tích vô hướng:$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \times 1 + (-1) \times 2 + 4 \times (-4) = 1 - 2 - 16 = -17 \ne 0$

=>$d$cắt$(Q)$tại một điểm duy nhất.

Tìm giao điểm:
Thay$x = 2 + t, y = 1 - t, z = 4t$vào mặt phẳng:
$(2 + t) + 2(1-t) - 4(4t) + 5 = 0$
$(2 + t) + (2 - 2t) - 16t + 5 = 0$
$(2 + 2 + 5) + (t - 2t - 16t) = 0$
$9 - 17t = 0 \Rightarrow t = \frac{9}{17}$

Vậy giao điểm là:

8. Bài tập thực hành tự luyện (có gợi ý)

1. Cho
   $$d: \left\{\begin{array}{l} x = t \\y = 2 - 2t \\z = 1 + t \\\end{array}\right.$$
   và mặt phẳng$(P): 2x + y - z + 3 = 0$. Xác định vị trí tương đối giữa$d$và $(P)$.
2. Cho các điểm$A(1,1,1), B(3,-1,2)$, mặt phẳng$(\alpha): x - y + 2z = 5$. Đường thẳng$d$ đi qua$A, B$. Hỏi$d$có cắt$(\alpha)$không? Nếu có, tìm giao điểm.
3. Đường thẳng$d: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{-1} = z$và mặt phẳng$(Q): x + y + z = 2$. Hãy xác định vị trí tương đối giữa$d$và $(Q)$.

Gợi ý: Đưa$d$về dạng tham số, tìm chỉ phương, xét tích vô hướng với pháp tuyến mặt phẳng.

9. Mẹo và lưu ý giúp tránh sai lầm phổ biến

• Luôn viết đúng và đầy đủ các phương trình.
• Cẩn thận khi chuyển đổi giữa dạng vector và phương trình tổng quát/tham số.
• Kiểm tra lại phép tính tích vô hướng để phân biệt chính xác song song/vuông góc/cắt.
• Khi thấy kết quả tích vô hướng là $0$, cần kiểm tra lại xem đường thẳng có thuộc mặt phẳng hay song song ngoài.
• Ghi nhớ công thức chuyển đổi các loại phương trình.

Tổng kết

Thành thạo cách giải bài toán nhận diện vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng là nền tảng vững vàng để các em học tốt phần hình học không gian lớp 11. Luyện tập qua các dạng bài và chú ý các kỹ thuật sẽ giúp các em tự tin hơn trong kiểm tra và thi cử.