Chiến Lược Giải Quyết Bài Toán Phép Chiếu Song Song Lên Mặt Phẳng Lớp 11

1. Giới thiệu về bài toán phép chiếu song song lên mặt phẳng

Phép chiếu song song lên mặt phẳng là một trong những chủ đề then chốt của Hình học không gian lớp 11. Đây là kỹ thuật giúp học sinh xác định vị trí, độ dài, diện tích và các quan hệ song song trong không gian bằng cách chuyển đổi về mặt phẳng. Bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, cũng như các kỳ thi học sinh giỏi hay thi tốt nghiệp THPT.

2. Đặc điểm của loại bài toán này

Một số tình huống phổ biến của phép chiếu song song lên mặt phẳng trong chương trình Toán 11:

• Tìm hình chiếu song song của điểm, đoạn thẳng, hình chữ nhật, tam giác… lên một mặt phẳng.
• Tìm giao tuyến giữa một mặt phẳng và mặt phẳng chiếu hay hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng.
• Tìm diện tích hình chiếu, độ dài đoạn chiếu và các quan hệ song song sau phép chiếu.

Bài toán yêu cầu học sinh vừa phải hình dung tốt trong không gian, vừa phải sử dụng thành thạo các công cụ hình học như: đường thẳng song song, vuông góc, hình chiếu…

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

• Xác định đối tượng cần chiếu và mặt phẳng chiếu.
• Vẽ hình chiếu, thường là hạ đường vuông góc hoặc dựng đường song song phù hợp.
• Sử dụng tính chất của song song, vuông góc, đồng dạng và các định lý hình học không gian.
• Chuyển đổi về mặt phẳng (nếu cần) để áp dụng các kiến thức hình học phẳng quen thuộc.
• Vận dụng công thức tính độ dài, diện tích hoặc xác định vị trí điểm/hình cần tìm trên hình chiếu.

4. Các bước giải chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$cạnh$a$. Tìm hình chiếu song song của đoạn thẳng$A'B'$lên mặt phẳng$(ABCD)$theo phương vuông góc với$(ABCD)$.

• Bước 1: Xác định đối tượng (đoạn$A'B'$) và mặt phẳng chiếu ($(ABCD)$).
• Bước 2: Kẻ các đường vuông góc từ $A'$và $B'$xuống mặt phẳng$(ABCD)$. Các chân đường vuông góc là $A$và $B$.
• Bước 3: Hình chiếu của$A'B'$lên$(ABCD)$là đoạn$AB$.
• Bước 4: Độ dài hình chiếu là $AB = a$.

Nhận xét: Trong trường hợp phép chiếu song song theo phương vuông góc, hình chiếu là hình đồng dạng (nếu không vuông góc, cần xác định phương song song phù hợp).

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Độ dài hình chiếu của đoạn$AB$lên mặt phẳng$(P)$theo phương$d$có thể được tính bằng công thức:$AB' = AB \cdot \cos \alpha$, trong đó $\alpha$là góc giữa$AB$và mặt phẳng$(P)$(hoặc giữa$AB$với phương chiếu nếu biết).
• Khi chiếu song song theo phương vuông góc: Độ dài hình chiếu nhỏ nhất, hình chiếu giữ nguyên độ dài nếu và chỉ nếu đoạn thẳng nằm song song với mặt phẳng chiếu.
• Sử dụng các định lý hình học không gian: Định lý ba đường vuông góc, đồng dạng, tỉ số lượng giác.
• Áp dụng kiến thức về hình chiếu vuông góc, đồng dạng, tiêu chuẩn nhận biết hai mặt phẳng song song trong không gian.

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

Một số biến thể phổ biến:

• Phép chiếu song song không vuông góc: Phải xác định phương chiếu và tìm giao điểm của các đường song song với phương chiếu.
• Hình chiếu của tam giác, đa giác: Phải xác định hình chiếu từng đỉnh và nối lại.
• Tìm diện tích hoặc độ dài hình chiếu: Áp dụng kiến thức về lượng giác hoặc đồng dạng.

Điều chỉnh chiến lược bằng cách xác định đúng phương chiếu, sử dụng các định lý phụ trợ như ba đường vuông góc cho các phép chiếu không vuông góc. Khi đề bài yêu cầu tìm diện tích, phải chú ý sử dụng các hệ số tỉ lệ hoặc đồng dạng.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Cho hình chóp$S.ABCD$với đáy$ABCD$là hình vuông cạnh$a$,$SA$vuông góc với đáy và $SA = a$. Tìm hình chiếu song song theo phương vuông góc với đáy của đoạn$SC$lên mặt phẳng$(ABCD)$. Tính độ dài hình chiếu đó.

Lời giải:

Vậy hình chiếu của $SC$lên$(ABCD)$là đoạn$AC$, độ dài $a\sqrt{2}$.

8. Bài tập thực hành tự luyện

9. Mẹo và lưu ý tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định rõ phương chiếu và kiểm tra lại hình vẽ, tránh nhầm lẫn giữa chiếu vuông góc và chiếu song song không vuông góc.
• Sau khi xác định hình chiếu, cần kiểm tra lại điểm bắt đầu và kết thúc của đoạn chiếu (thường là hình chiếu của các đầu mút).
• Nếu gặp phải các mặt phẳng không vuông góc, hãy sử dụng các định lý phụ về giao tuyến, đường vuông góc chung.
• Nên luôn làm rõ và minh họa hình bằng cách vẽ đầy đủ các điểm, đường cần thiết giúp dễ hình dung.
• Phân biệt giữa phép chiếu song song và phép đối xứng qua mặt phẳng.