Blog

Lớp 11

Chiến lược giải quyết bài toán Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) – Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán tổngnnsố hạng đầu của cấp số nhân sử dụng công thứcSn=u11−qn1−qS_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}là một dạng cơ bản, quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Dạng bài này xuất hiện thường xuyên trong đề kiểm tra, thi học kỳ, cũng như các kỳ thi học sinh giỏi và xét tuyển đại học theo hướng đánh giá năng lực. Hiểu và thành thạo cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết cấp số nhân và ứng dụng hiệu quả trong các bài toán có liên quan. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập kèm đáp án chi tiết để củng cố kỹ năng.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

Dạng bài này thường có các dấu hiệu nhận biết như: xuất hiện chuỗi số tăng/giảm theo một quy luật nhân liên tiếp (cấp số nhân), đề có từ khóa như “tìm tổngnnsố hạng đầu”, “cấp số nhân”, “không phải cấp số cộng”, hoặc biểu thức xuất hiện mẫu số 1−q1-q. Dễ nhầm lẫn với tổng cấp số cộng, vì vậy cần phân biệt kỹ.

2.2 Kiến thức cần thiết

  • - Nắm vững định nghĩa cấp số nhân: Dãy số có dạngu1u_1,u2=u1qu_2 = u_1q,...,un=u1qn−1u_n = u_1q^{n-1}.
  • - Biết công thức tổngnnsố hạng đầuSn=u11−qn1−qS_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}vớiq≠1q \neq 1.
  • - Kỹ năng tính toán nhanh lũy thừa, phép nhân, phép chia.
  • - Phân biệt với cấp số cộng (Sn=n(u1+un)2S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}).

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • - Đọc kỹ đề, nhận diện dãy số đề cập là cấp số nhân (tìmu1u_1,qq,nn).
  • - Xác định rõ yêu cầu (tính tổngnnsố hạng, tìm số hạng thứ nn, hoặc một ẩn số liên quan).
  • - Chỉ ra dữ kiện đã cho và ẩn cần tìm.

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • - Chọn công thức tổngSnS_nphù hợp.
  • - Liệt kê thứ tự các bước: xác địnhu1u_1,qq,nn⇒ Áp dụng công thức ⇒ Tính giá trị cụ thể.
  • - Dự đoán kết quả, chuẩn bị kiểm tra tính hợp lý cuối bài.

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • - Thay số chính xác vào công thức.
  • - Tính toán từng bước cẩn thận, tránh nhầm lẫn dấu−-,++hay sai sót nhân chia.
  • - Kiểm tra kết quả: có hợp lý với đề bài không?

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

    Sử dụng nguyên mẫu công thứcSn=u11−qn1−qS_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}. Thích hợp khi đã cho trực tiếpu1,q,nu_1, q, n. Ưu điểm: Dễ nhớ, áp dụng nhanh; nhược điểm: phải xác định đúng cấp số nhân, nếu nhầm lẫn rất dễ sai.

    4.2 Phương pháp nâng cao

    Nếuq<1q < 1, có thể khai thác giới hạnlim⁡n→∞Sn\lim_{n \to \infty} S_n để tính tổng vô hạn; hoặc nếu yêu cầu tìm ẩn, có thể khai triển ẩn qua các phương trình phụ. Khi số liệu phức tạp, chú ý sử dụng máy tính cầm tay hoặc biến đổi tối giản lũy thừa để giảm bước tính. Mẹo: Vớiq<0q<0, kiểm tra dấu rất quan trọng.

    5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Cho cấp số nhânu1=2u_1 = 2,q=3q = 3, tínhS4S_4.

  • - Áp dụng công thức:S4=21−341−3=21−81−2=2×40=80S_4 = 2 \frac{1-3^4}{1-3} = 2 \frac{1-81}{-2} = 2 \times 40 = 80.
  • - Giải thích: Tính34=813^4=81,1−81=−801-81=-80,1−3=−21-3=-2⇒−80−2=40\frac{-80}{-2}=40,2×40=802 \times 40=80.

    • 5.2 Bài tập nâng cao

    TìmnnbiếtSn=31S_n = 31,u1=1u_1 = 1,q=2q=2.

  • -Sn=11−2n1−2=11−2n−1=2n−1S_n = 1 \frac{1-2^n}{1-2} = 1 \frac{1-2^n}{-1} = 2^n-1.
  • -Sn=31S_n=31⇒2n−1=312^n-1=31⇒2n=322^n=32⇒n=5n=5.
  • - So sánh: nếu giải bằng nhiều cách sẽ cùng chon=5n=5. Cách giải nhanh: nhận dạng2n2^ngần bằng32=2532=2^5.

    • 6. Các biến thể thường gặp

    Bài toán tính tổng vô hạn với∣q∣<1|q|<1(S∞=u11−qS_\infty = \frac{u_1}{1-q}); bài toán tìmqqhoặcu1u_1khi cho biếtSnS_n,nn; biến thể với số hạng tổng quát; dạng kết hợp cấp số nhân - cấp số cộng: phải xác định rõ tách điều kiện và chọn công thức đúng.

    7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • - Nhầm tổng cấp số cộng, hoặc lấy sai công thức tổng.
  • - Gán sai giá trị u1u_1,qqhoặc lấy nhầm số hạng đầu tiên.
  • - Cách khắc phục: kiểm tra lại từng tham số, ôn kỹ lý thuyết trước khi giải.

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • - Tính sai lũy thừa, dấu trừ âm hoặc chuyển vế dẫn đến sai kết quả.
  • - Sai làm tròn số khi sử dụng máy tính.
  • - Kiểm tra kết quả: thay ngược đáp số vào đề để xác nhận.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập kho 42.226+ bài tập cách giảiSn=u11−qn1−qS_n = u_1\frac{1-q^n}{1-q}miễn phí ngay hôm nay! Bạn không cần đăng ký, có thể bắt đầu luyện tập và kiểm tra kết quả ngay lập tức. Hệ thống sẽ giúp bạn theo dõi tiến độ và chỉ ra những điểm cần cải thiện.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • - Tuần 1: Ôn lại lý thuyết, giải 10 bài tập cơ bản mỗi ngày.
  • - Tuần 2: Chuyển sang các bài tập nâng cao, thực hành kiểm tra nhanh.
  • - Đặt mục tiêu vượt qua 90% câu hỏi đúng.
  • - Định kỳ so sánh kết quả, đánh giá những lỗi thường gặp và bổ sung luyện tập thêm các dạng chưa vững.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".