Chiến lược giải quyết bài toán so sánh số hạng liên tiếp lớp 11: Hướng dẫn toàn diện kèm ví dụ giải chi tiết

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán so sánh số hạng liên tiếp là một dạng trọng tâm trong chủ đề dãy số của chương trình Toán lớp 11. Bài toán yêu cầu xác định quan hệ giữa các số hạng$u_{n+1}$và $u_n$, thường để kiểm tra tính đơn điệu (tăng, giảm, không đổi) của một dãy số. Dạng này xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra, đề thi học kỳ và các kỳ thi THPT quốc gia. Nắm vững phương pháp giải không chỉ giúp bạn đạt điểm tối đa, mà còn củng cố nền tảng giải tích sau này. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập ngay trên hệ thống.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Đề bài thường xuất hiện các yêu cầu như: “So sánh$u_{n+1}$và $u_n$”, “Chứng minh dãy tăng/giảm”, “Tìm tất cả $n$để$u_{n+1} > u_n$”, …
- Từ khóa cần chú ý: "so sánh số hạng", "dãy số", "liên tiếp", "đơn điệu", "chứng minh tăng, giảm".
- Không nhầm lẫn với các dạng: tìm công thức tổng quát, quy nạp, tính tổng$S_n$... chỉ tập trung vào quan hệ giữa hai số hạng liên tiếp.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Công thức xác định dãy số: truy hồi hoặc tổng quát.
- Định nghĩa dãy số tăng/giảm:$u_{n+1} > u_n$(tăng),$u_{n+1} < u_n$(giảm).
- Vận dụng đại số để biến đổi và so sánh: rút gọn, chuyển vế, phân tích dấu.
- Liên hệ kiến thức: bất đẳng thức, quy tắc xét dấu, hàm số.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ yêu cầu: Xác định rõ đề hỏi quan hệ nào ($u_{n+1} > u_n$hay$<br />eq$).
- Xác định những dữ liệu được cho: công thức truy hồi, số hạng đầu,...
- Đặt ra các câu hỏi nhỏ: Cần chứng minh với mọi$n$hay tồn tại$n$cụ thể?

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn phương pháp: Trực tiếp (so sánh$u_{n+1}$và $u_n$), sử dụng bất đẳng thức, quy nạp,...
- Sắp xếp các bước: Tính$u_{n+1} - u_n$hoặc$\frac{u_{n+1}}{u_n}$, xác định dấu, kết luận.
- Ước lượng kết quả: Dãy có khả năng tăng/giảm? Dự đoán để đối chiếu.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Thay công thức vào tính$u_{n+1} - u_n$hoặc$\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Biến đổi rút gọn và xét dấu cẩn thận.
- Kiểm tra bằng giá trị nhỏ:$n=1,2,...$ để rà soát sai sót.

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- So sánh hiệu: Tính$u_{n+1} - u_n$.
- Nếu$u_{n+1} - u_n > 0$, dãy tăng;$< 0$, dãy giảm.
- Ưu điểm: Dễ áp dụng, trực quan.
- Nhược điểm: Đôi khi biểu thức phức tạp khó xét dấu, cần tỉ mỉ từng bước.
- Sử dụng khi: Công thức rõ ràng, dễ biến đổi.

4.2 Phương pháp nâng cao

- So sánh tỉ số: Tính$\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Nếu$>1$, dãy tăng;$<1$, dãy giảm.
- Ứng dụng bất đẳng thức: Cauchy, AM-GM, … để đánh giá dấu biểu thức.
- Chia thành các trường hợp cụ thể với$n$.
- Mẹo: Biến đổi về đa thức bậc nhất, bậc hai hoặc khai triển để dễ nhận biết dấu.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề: Cho dãy số $(u_n)$xác định bởi$u_1 = 2$,$u_{n+1} = u_n + 3$. Chứng minh dãy$(u_n)$tăng.

Giải:

Ta có $u_{n+1} - u_n = (u_n + 3) - u_n = 3 > 0$với mọi$n \in \mathbb{N}$.

Lý do: Hiệu số hạng liên tiếp dương, vậy dãy số tăng.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề: Cho dãy$u_1 = 1$,$u_{n+1} = 2u_n + 1$. So sánh$u_{n+1}$với$u_n$.

Giải 1 (So sánh hiệu):
$u_{n+1} - u_n = (2u_n + 1) - u_n = u_n + 1 > 0$vì $u_n \geq 1$với mọi$n \geq 1$.
Kết luận: Dãy tăng.

Giải 2 (So sánh tỉ số):
$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2u_n + 1}{u_n} = 2 + \frac{1}{u_n} > 2 > 1$. Dãy tăng với tốc độ lớn.

6. Các biến thể thường gặp

- Dãy số với công thức tổng quát (không truy hồi)
- Dãy số cho bởi biểu thức chứa tham số
- Dãy chia các trường hợp với giá trị $n$(dãy lẻ/chẵn, điều kiện đặc biệt)
Điều chỉnh chiến lược: Xét riêng theo từng trường hợp công thức, biến đổi lại theo hiệu hoặc tỉ số phù hợp.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Dùng nhầm phương pháp cho dạng khác (ví dụ quy nạp toàn dãy không cần thiết)
- Không kiểm tra điều kiện ban đầu hoặc điều kiện xác định dãy
Khắc phục: Đọc kỹ đề, xác định rõ mục tiêu và điều kiện đầu vào.

7.2 Lỗi về tính toán

- Lỗi biến đổi đại số: quên dấu ngoặc, nhầm lẫn các bước trừ hoặc chia biểu thức
- Làm tròn số sớm hoặc ẩu
Khắc phục: Trình bày từng bước, kiểm tra lại với$n=1,2$hoặc so sánh nhiều giá trị nhỏ.

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 42.226+ bài tập cách giải so sánh số hạng liên tiếp miễn phí dành cho học sinh lớp 11.
- Không cần đăng ký, làm bài trực tiếp và xem đáp án.
- Theo dõi tiến độ, bám sát lộ trình từng bài học.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Chia nhỏ lộ trình ôn tập: Mỗi tuần luyện 10-20 bài với mức độ tăng dần.
- Mục tiêu: Thành thạo các phương pháp (hiệu, tỉ số, biến thể đặc biệt).
- Tự kiểm tra tiến bộ: Làm lại bài đã sai, thử thách bản thân với biến thể nâng cao.