Chiến lược giải quyết bài toán Khảo sát sự biến thiên của hàm lượng giác lớp 11

1. Giới thiệu về bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm lượng giác

Khảo sát sự biến thiên của hàm lượng giác là một dạng bài toán trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Dạng bài này yêu cầu học sinh xét xem hàm lượng giác tăng, giảm như thế nào, xác định các điểm cực trị, giới hạn, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất và vẽ đồ thị hàm số. Việc thành thạo giải loại bài này giúp học sinh tăng khả năng tư duy, phân tích, và vận dụng kiến thức lượng giác vào các bài toán thực tiễn và các kỳ thi quan trọng.

2. Đặc điểm của bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm lượng giác

Các hàm lượng giác cơ bản bao gồm: sin, cos, tan, cot và các hàm hợp, hàm biến đổi từ các hàm cơ bản này. Chúng có đặc điểm chung là tính chu kỳ, tuần hoàn và có miền xác định/không xác định đặc thù. Dạng bài toán thường gặp:

• Xác định tập xác định của hàm số lượng giác
• Tính đạo hàm, tìm các điểm cực trị, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất
• Xét tính đơn điệu (tăng/giảm) của hàm số
• Vẽ đồ thị minh họa

3. Chiến lược tổng thể để tiếp cận bài toán

Để giải quyết hiệu quả bài toán khảo sát sự biến thiên của hàm lượng giác, học sinh cần tuân thủ theo các bước chuẩn sau:

1. Xác định tập xác định của hàm số
2. Tính đạo hàm, xác định các điểm tới hạn
3. Lập bảng biến thiên
4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, các điểm cực trị
5. Khảo sát chiều biến thiên (tăng, giảm) của hàm
6. Vẽ đồ thị (nếu cần)

4. Các bước giải quyết chi tiết với ví dụ minh họa

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = 2\sin(x) - \cos(x)$trên đoạn$[0; 2\pi]$

1. Tập xác định: Hàm xác định với mọi$x \in \mathbb{R}$(do sin và cos xác định với mọi$x$)
2. Tính đạo hàm:
   $y' = 2\cos(x) + \sin(x)$
3. Tìm điểm tới hạn: Nghiệm của $y' = 0$:
   $2\cos(x) + \sin(x) = 0 \implies \sin(x) = -2\cos(x) \implies \tan(x) = -2$
   Giải phương trình $\tan(x) = -2$trong$[0; 2\pi]$:
   
   $$x = \\arctan(-2) + k\pi \implies x_1 = \\arctan(-2),\ x_2 = \\arctan(-2) + \pi$$
   
   Tính giá trị:
   
   $$\\arctan(-2) \approx -1.107$$
   (không thuộc$[0;2\pi])$, cộng $\pi$ được$x \approx 2.034$, cộng tiếp $\pi$có $x \approx 5.176$(cả hai đều thuộc$[0;2\pi]$).
4. Tính giá trị hàm tại các điểm biên và điểm tới hạn:
   - $y(0) = 2\sin(0)-\cos(0) = -1$
   -$y(2\pi) = 2\sin(2\pi)-\cos(2\pi) = -1$
   -$y(2.034) \approx 2\sin(2.034) - \cos(2.034) \approx 2<em>0.894 - (-0.425) \approx 2.213$
   - $y(5.176) \approx 2\sin(5.176) - \cos(5.176) \approx 2</em>(-0.894) - 0.425 \approx -2.213$
5. Lập bảng biến thiên:
   - Xét dấu của $y'$, tức dấu của $2\cos(x) + \sin(x)$trong các khoảng giữa các điểm tới hạn.
   - Ta dễ thấy hàm tăng trên$(0; 2.034)$, giảm trên $(2.034; 5.176)$rồi lại tăng tiếp trên$(5.176; 2\pi)$.
   
   => Hàm đạt giá trị lớn nhất tại $x \approx 2.034$ ($y \approx 2.213$) và nhỏ nhất tại $x \approx 5.176$ ($y \approx -2.213$).
6. Vẽ đồ thị sơ bộ: Dựa vào bảng biến thiên và các giá trị đã tính.

5. Các công thức và kỹ thuật cần nhớ

• Đạo hàm các hàm lượng giác:
  - $\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$
  - $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$
  - $\frac{d}{dx} \tan(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$
• Phương trình lượng giác cơ bản và các giá trị đặc biệt của $\sin, \cos, \tan$
• Cách đổi tổng thành tích, dùng các hệ thức cộng
• Sử dụng bảng biến thiên để xác định tính chất hàm số
• Kỹ thuật sử dụng
  $$\\arctan, \\arcsin, \\arccos$$
  để giải phương trình

6. Các biến thể của bài toán và điều chỉnh chiến lược

- Hàm số lượng giác có biến đổi: $y = a\sin(bx + c) + d$
- Hàm hợp, hàm phân thức lượng giác: $y = \frac{1}{1+\sin(x)}$, $y = \tan^2(x) - \tan(x)$
- Hàm lượng giác ngắt quãng, xác định từng đoạn (phải chú ý điểm không xác định/cận xác định)

Khi gặp biến thể, cần lưu ý:
- Xác định lại tập xác định chi tiết
- Chú ý đến chu kỳ, miền xác định bị loại trừ bởi mẫu số hoặc hàm ngược
- Có thể phải sử dụng thêm các phép biến đổi lượng giác hoặc đạo hàm hàm hợp.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Bài tập: Khảo sát sự biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = \sin(x) + \sin(2x)$trên đoạn$[0; 2\pi]$.

1. Tập xác định:$D = \mathbb{R}$(sin xác định mọi$x$)
2. Tính đạo hàm:
   $y' = \cos(x) + 2\cos(2x)$
3. Tìm nghiệm $y' = 0$:
   $\cos(x) + 2\cos(2x) = 0 <br>$\cos(x) + 2(2\cos^2(x)-1) = 0$<br> \cos(x) + 4\cos^2(x) - 2 = 0$
   Đặt $t = \cos(x)$:
   $4t^2 + t - 2 = 0 \implies t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$
   Tính các giá trị (t ≈ 0.567, -0.882), giải tìm $x$tương ứng trong$[0; 2\pi]$.
4. Kiểm tra các điểm biên:
   - $y(0) = \sin(0) + \sin(0) = 0$
   - $y(2\pi) = \sin(2\pi) + \sin(4\pi) = 0$
   Tính $x$với$\cos(x) \approx 0.567$, $x \approx 0.964$và $x = 2\pi - 0.964 = 5.319$.
   
   Tính $y(0.964) = \sin(0.964) + \sin(2 \times 0.964) \approx 0.822 + 0.819 = 1.641$
   Tính $y(2.657)$ và các giá trị còn lại tương tự.
5. Lập bảng biến thiên, đối chiếu các giá trị, xác định$y_{max} \approx 1.641$,$y_{min} \approx -1.641$

8. Bài tập thực hành cho học sinh

- Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \cos(x) - \sin(x)$trên đoạn$[0; 2\pi]$.
- Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = 3\sin(x) + 4\cos(x)$trên$[0; 2\pi]$.
- Bài 3: Khảo sát hàm $y = \frac{1}{1 + \sin(x)}$trên đoạn$[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
- Bài 4: Khảo sát sự biến thiên của hàm $y = \tan(x) + \cot(x)$trên$(0, \pi)$.

9. Các mẹo và lưu ý để tránh sai lầm phổ biến

• Luôn xác định kỹ miền xác định, cẩn thận các giá trị không xác định của tan, cot, các phân thức.
• Kiểm tra kỹ nghiệm các phương trình lượng giác, kể cả nghiệm ngoài khoảng khảo sát.
• Lưu ý về giá trị lớn nhất nhỏ nhất: giá trị này có thể đạt tại các điểm biên hoặc các điểm tới hạn.
• Nhớ kiểm tra dấu của đạo hàm khi lập bảng biến thiên.
• Có thể dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra nhanh giá trị các hàm số tại những điểm đặc biệt.