1. Giới thiệu về dạng bài toán

Dạng toán 'Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ' là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Dạng bài này yêu cầu học sinh xác định được xác suất của biến cố dạng$A \cup B$khi biết xác suất các biến cố riêng lẻ và xác suất giao nhau của chúng. Dạng toán này thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ và cả đề thi THPT Quốc gia, chiếm tỉ lệ đáng kể trong chương trình Xác suất và Thống kê. Nắm vững cách giải sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong phần này. Đặc biệt, bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với 37.799+ bài tập chuẩn theo cấu trúc đề thi tại đây.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

- Đề bài thường yêu cầu: 'Tính xác suất của biến cố xảy ra ít nhất một trong hai A hoặc B', 'xác suất của biến cố A hợp B',…
- Các từ khóa: 'hoặc', 'union', '$A \cup B$', 'xảy ra ít nhất một',…
- Khác với các bài toán giao ($A \cap B$) hoặc xác suất độc lập, hợp hai biến cố là xác suất có thể trùng lặp nên cần sử dụng công thức cộng xác suất kèm hiệu chỉnh giao nhau.

2.2 Kiến thức cần thiết

- Hiểu rõ công thức cộng xác suất:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
- Kỹ năng xác định xác suất của các biến cố cơ bản và giao nhau.
- Biết chuyển đổi giữa các dạng toán giao, hợp, bổ sung rất quan trọng.
- Liên hệ với bảng chân trị, sơ đồ Ven nếu cần.

3. Chiến lược giải quyết tổng thể

3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

- Đọc kỹ đề, xác định yêu cầu chính là xác suất của biến cố hợp.
- Xác định các dữ kiện đã cho:$P(A)$,$P(B)$,$P(A \cap B)$, đôi khi là xác suất bổ sung.
- Có thể vẽ sơ đồ hoặc tóm tắt một cách khoa học để không sót thông tin.

3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

- Chọn công thức tổng quát phù hợp với kiểu cho dữ kiện.
- Sắp xếp lại thông tin, xác định các ẩn số cần tính trước nếu chưa cho đầy đủ.
- Ước lượng sơ bộ (chẳng hạn xác suất không được lớn hơn 1), tránh sai lầm cơ bản.

3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

- Áp dụng công thức$P(A \cup B)$một cách cẩn thận từng bước.
- Lưu ý nếu bài cho các biến cố độc lập đặc biệt, hoặc các biến cố bổ sung thì cần biến đổi công thức phù hợp.
- Kiểm tra lại đáp số: Đáp số luôn phải nằm trong [0;1].

4. Các phương pháp giải chi tiết

4.1 Phương pháp cơ bản

- Tiếp cận truyền thống là trực tiếp sử dụng công thức cộng xác suất:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

- Ưu điểm: Dễ nhớ, áp dụng trực tiếp.
- Hạn chế: Bài phức tạp hơn có thể cần tính thêm xác suất giao hoặc các biến cố độc lập.
- Áp dụng cho đa số các bài cơ bản và trung bình.

4.2 Phương pháp nâng cao

- Nếu bài cho xác suất các biến cố bổ sung$A’$,$B’$, hoặc xác suất xảy ra đồng thời các biến cố ngược nhau, hãy sử dụng biến đổi tương ứng.
- Kỹ thuật sơ đồ Ven giúp trực quan hóa các trường hợp bị trùng lặp và tránh đếm lặp.
- Ghi nhớ công thức$P(A \cup B) = P(U) - P(A’ \cap B’)$ để giải nhanh khi cho dữ kiện về các biến cố đối lập.

5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

5.1 Bài tập cơ bản

Đề bài: Cho$P(A)=0.6$,$P(B)=0.5$,$P(A \cap B)=0.3$. Tính xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8$

Vậy xác suất cần tìm là $0.8$.

5.2 Bài tập nâng cao

Đề bài: Có $P(A) = 0.7$,$P(B) = 0.6$, xác suất để cả A và B đều không xảy ra là $0.1$. Tính xác suất để xảy ra ít nhất một trong hai biến cố.

Cách 1: Sử dụng công thức bổ sung:
$P(A \cup B) = 1 - P(A’ \cap B’ ) = 1 - 0.1 = 0.9$.

Cách 2: Dùng công thức tổng quát:
Có $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, mà $P(A’ \cap B’ ) = 0.1$→$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$. Nhưng đáp án nhanh nhất là 0.9.

So sánh: Cách 1 nhanh, dùng công thức bổ sung sẽ lợi thế khi biết xác suất biến cố đối lập.

6. Các biến thể thường gặp

- Cho xác suất các biến cố độc lập: khi đó $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Thay vào như thường.
- Đề cho các xác suất không trực tiếp: cần tính toán trung gian.
- Có thể gặp dạng tìm$P(A \cup B)$khi$A$và $B$là biến cố đối lập.

Mẹo: Vẽ sơ đồ Ven hoặc bảng tổng hợp để tránh bỏ sót trường hợp.

7. Lỗi phổ biến và cách tránh

7.1 Lỗi về phương pháp

- Nhầm lẫn giữa hợp và giao.
- Quên trừ phần giao nhau trong công thức cộng.
- Dùng sai công thức khi các biến cố độc lập hoặc đối lập.

Cách khắc phục: Ghi nhớ, luôn viết ra công thức tổng quát trước khi thay số, kiểm tra lại bài.

7.2 Lỗi về tính toán

- Tính toán sai số, nhầm lẫn dấu cộng trừ.
- Làm tròn số không đúng quy tắc.
- Đáp án lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0 là sai.

Cách kiểm tra: Sau khi tính xong, kiểm tra lại từng bước, xác định kết quả phải nằm trong [0;1].

8. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập 37.799+ bài tập cách giải Tính xác suất của biến cố hợp hai biến cố bất kỳ miễn phí.
- Hoàn toàn không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay.
- Hệ thống tự động thống kê tiến độ, giúp bạn cải thiện từng ngày.

9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

- Tuần 1-2: Thành thạo công thức cơ bản, luyện bài tập cơ bản hàng ngày, đặt mục tiêu 10 bài/ngày.
- Tuần 3-4: Ôn luyện các bài nâng cao, biến thể, kiểm tra lại lý thuyết.
- Kiểm tra tiến độ hằng tuần, điều chỉnh phương pháp học nếu cần.
- Định kỳ làm đề kiểm tra tổng hợp xuyên suốt khóa học.