Blog

Lớp 11

Chiến lược giải và luyện tập miễn phí bài toán Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân lớp 11

T
Tác giả
•
•5 phút đọc
Chia sẻ:
6 phút đọc

1. Giới thiệu về dạng bài toán

Bài toán “Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân” là một trong những dạng thường gặp trong chương trình Toán lớp 11, thuộc chương Dãy số, chủ đề Cấp số nhân (CSN). Dạng toán này yêu cầu học sinh nhận diện chuỗi số học có cấu trúc cấp số nhân, xác định điều kiện tồn tại tổng vô hạn và tính giá trị tổng nếu có. Đề thi giữa kỳ, cuối kỳ, đề thi học sinh giỏi thường xuất hiện bài toán này dưới nhiều mức độ khác nhau. Việc thành thạo dạng này không chỉ tăng điểm kiểm tra mà còn là nền tảng cho đại số và giải tích ở lớp lớn hơn. Bạn có cơ hội luyện tập miễn phí với hơn 1000+ bài tập chuẩn chọn lọc bên dưới.

2. Phân tích đặc điểm bài toán

2.1 Nhận biết dạng bài

  • Đặc trưng là dãy số có dạngu1,u2,u3,…u_1, u_2, u_3, \ldotscó công bộiqqvà hỏi tổngS=u1+u2+u3+…S = u_1 + u_2 + u_3 + \ldots.
  • Từ khóa xuất hiện: “tính tổng vô hạn”, “cấp số nhân”, “nếu tổng tồn tại”, “tìmSS”.
  • Phân biệt với cấp số cộng: công bộiqq, phép nhân liên tục, không cộng.

    • 2.2 Kiến thức cần thiết

  • Công thức tổng vô hạn cấp số nhân: Nếu∣q∣<1|q|<1,S=u11−qS = \frac{u_1}{1-q}
  • Phải tính đượcu1u_1(số hạng đầu), xác địnhqq(công bội), kiểm tra điều kiện∣q∣<1|q|<1.
  • Khả năng biến đổi, rút gọn biểu thức đại số, giải bất phương trình.
  • Liên hệ dãy số, hàm số, đạo hàm, ứng dụng trong giải tích.

    • 3. Chiến lược giải quyết tổng thể

    3.1 Bước 1: Đọc và phân tích đề bài

  • Đọc kỹ yêu cầu, xác định có phải tổng vô hạn của CSN không.
  • Gạch chân các dữ kiện:u1u_1,qq, điều kiện tổng tồn tại.
  • Nhận biết kết quả cần tìm: giá trị tổng, trường hợp tổng không tồn tại (nếu∣q∣≥1|q|\ge 1).

    • 3.2 Bước 2: Lập kế hoạch giải

  • Chọn công thức phù hợp: Tổng vô hạn hay tổng hữu hạn.
  • Sắp xếp bước thực hiện: Xác địnhqq, kiểm tra∣q∣<1|q|<1, tínhu1u_1, áp dụng công thức.
  • Ước lượng kết quả, kiểm tra xem có hợp lý không (ví dụ: tổng phải lớn hơnu1u_1nếuq>0q > 0...)

    • 3.3 Bước 3: Thực hiện giải toán

  • Thay số liệu vào công thức, tính toán rõ ràng từng bước.
  • Luôn kiểm tra lại điều kiện∣q∣<1|q|<1trước khi kết luận có tổng hữu hạn.
  • Kiểm tra lại phép tính cuối để đảm bảo không sai sót.

    • 4. Các phương pháp giải chi tiết

    4.1 Phương pháp cơ bản

  • Chỉ dùng công thức tổng vô hạnS=u11−qS = \frac{u_1}{1-q}cho∣q∣<1|q|<1.
  • Ưu điểm: Dễ áp dụng, thích hợp mọi dạng tổng CSN cơ bản.
  • Hạn chế: Không xử lý được khi∣q∣≥1|q|\ge 1, hoặc tổng có điều kiện phụ.
  • Sử dụng khi đề bài cho sẵnu1u_1,qqhoặc dễ dàng xác định từ dãy.

    • 4.2 Phương pháp nâng cao

  • Kết hợp biến đổi dãy số để đưa về dạng CSN chuẩn khi đề cho dạng tổng phức tạp (giới thiệu công thức với các cấp số nhân dịch chỉ số, nhân hệ số).
  • Ghi nhớ nhanh: Nếu tổng chỉ tồn tại với∣q∣<1|q|<1; chú ý dấuqqkhi thay số.
  • Tận dụng tính chất tổng thành phần, cắt ghép các dãy con (nâng cao hơn).
  • Sử dụng máy tính nhanh khi cần rút gọn hoặc kiểm tra đáp án.

    • 5. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

    5.1 Bài tập cơ bản

    Bài toán: Tính tổng vô hạn của dãy số 1;12;14;18;…1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \ldots.

    Phân tích:u1=1u_1 = 1,q=12q = \frac{1}{2},∣q∣<1|q|<1nên có tổng vô hạn.

    Áp dụng công thức: S=u11−q=11−12=2S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2

    Kết quả: Tổng vô hạn của dãy số là 22.

    5.2 Bài tập nâng cao

    Cho dãy số 2,−1,12,−14,…2, -1, \frac{1}{2}, -\frac{1}{4},\ldots. Tính tổng vô hạn nếu có.

    Phân tích:u1=2u_1 = 2,q=−12q = -\frac{1}{2}.∣q∣=12<1|q|=\frac{1}{2}<1nên tổng hữu hạn tồn tại.

    Áp dụng:S=21−(−12)=232=43S = \frac{2}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}

    So sánh các bước: Nếu xác định sai dấuqq, kết quả sẽ sai lớn; luôn kiểm tra kỹ công bội.

    6. Các biến thể thường gặp

  • Tổng bắt đầu từ số hạngkk(uk+uk+1+...u_k + u_{k+1} +...).
  • Tổng nhiều dãy cộng lại, hoặc biểu thức tổ hợp các cấp số nhân.
  • Tổng có điều kiện phụ (qqthay đổi theo tham số).

    • Chiến lược: Đưa về tổng chuẩn và áp dụng công thức; nếu không, tách thành nhiều tổng nhỏ hơn.

    7. Lỗi phổ biến và cách tránh

    7.1 Lỗi về phương pháp

  • Áp dụng công thức tổng vô hạn khi∣q∣≥1|q| \ge 1(là sai), cần loại trừ trường hợp này.
  • Nhầm lẫn với tổng CSN hữu hạn.
  • Không xác định đúngqq(dấu âm, số mũ).

    • 7.2 Lỗi về tính toán

  • Tính sai mẫu số 1−q1-qhoặc nhầm dấuqqdẫn đến kết quả sai.
  • Làm tròn số không phù hợp (nên giữ phân số hoặc số thập phân chính xác khi cần).
  • Kiểm tra lại bằng cách nhân tổng với1−q1-q để xem có rau1u_1không.

    • 8. Luyện tập miễn phí ngay

    Truy cập kho 1000+ bài tập cách giải Tính tổng vô hạn (nếu có) của cấp số nhân miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức. Hệ thống tự động theo dõi tiến độ và giúp bạn cải thiện kỹ năng giải toán.

    9. Kế hoạch luyện tập hiệu quả

  • Phân bổ 2-3 buổi/tuần, mỗi buổi chọn 6-10 bài tập từ dễ đến khó.
  • Đặt mục tiêu: hiểu bản chất dạng toán, tự giải 100% bài cơ bản sau 1 tuần, giải đúng 80% bài nâng cao sau 2 tuần.
  • Định kỳ kiểm tra lại các lỗi hay mắc, bổ sung lại phần lý thuyết nếu cần.
    • T

    Tác giả

    Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

    Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".