Chiến Lược Giải Bài Toán Vẽ Đồ Thị Hàm Số Lượng Giác Lớp 11: Hướng Dẫn Từng Bước

1. Giới thiệu về bài toán vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Bài toán "Vẽ đồ thị hàm số lượng giác" là dạng bài cơ bản và quan trọng trong chương Hàm số lượng giác lớp 11. Thành thạo cách giải bài toán vẽ đồ thị hàm số lượng giác giúp học sinh hiểu sâu bản chất các hàm số sin, cos, tan, cot và vận dụng hiệu quả vào các bài luyện tập cũng như bài toán thực tế. Đây là tiền đề cần thiết cho các chuyên đề giải phương trình lượng giác và ứng dụng đại số ở các lớp cao hơn.

2. Phân tích đặc điểm của bài toán vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Bài toán yêu cầu học sinh xác định đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản và biến đổi (dạng tổng quát: $y = a \cdot \sin(bx + c) + d$, $y = a \cdot \cos(bx + c) + d$, $y = a \cdot \tan(bx + c) + d$,

• Nhận biết dạng tổng quát của hàm số và các tham số $a$,$b$,$c$,$d$.
• Phân tích chu kỳ, biên độ, tịnh tiến, đối xứng của đồ thị.
• Vẽ chính xác trên hệ trục tọa độ.

3. Chiến lược tổng thể tiếp cận bài toán vẽ đồ thị hàm số lượng giác

1. Nhận diện loại hàm số (sin, cos, tan, cot).
2. Tìm các thông số ảnh hưởng đến đồ thị ($a$,$b$,$c$,$d$).
3. Phân tích các yếu tố (chu kỳ, biên độ, tịnh tiến ngang/dọc, trục đối xứng,…)
4. Xác định các điểm đặc biệt (điểm cực đại, cực tiểu, điểm cắt trục hoành, tung,…)
5. Phác họa đồ thị dựa trên các thông tin đã xác định.
6. Kiểm tra lại hình dạng đồ thị và kết luận.

4. Các bước chi tiết giải bài toán vẽ đồ thị hàm số lượng giác

Chúng ta xét ví dụ cụ thể với hàm số $y = 2\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) + 1$.

Bước 1: Xác định dạng hàm và các hệ số

- Hàm số trên thuộc dạng $y = a\sin(bx + c) + d$.

• $a = 2$: biên độ
• $b = 1$: tần số góc
• $c = - \frac{\pi}{2}$: pha ban đầu
• $d = 1$: tịnh tiến dọc (lên 1 đơn vị)

Bước 2: Xác định chu kỳ và biên độ

- Biên độ $A = |a| = 2$.
- Chu kỳ $T = \frac{2\pi}{|b|} = 2\pi$.

Bước 3: Xác định tịnh tiến và đối xứng

• Đồ thị tịnh tiến sang phải$\frac{\pi}{2}$ đơn vị.
• Đồ thị tịnh tiến lên trên 1 đơn vị.

Bước 4: Xác định điểm đặc biệt

Để tìm điểm cực đại, cực tiểu, ta cần xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

• Giá trị lớn nhất:$y_{\max} = d + |a| = 1 + 2 = 3$
• Giá trị nhỏ nhất:$y_{\min} = d - |a| = 1 - 2 = -1$

Bước 5: Lập bảng giá trị và phác họa đồ thị

Sau đó, hãy chấm các điểm này lên hệ trục tọa độ và nối chúng thành đường sóng sin.

5. Các công thức và kỹ thuật cần ghi nhớ

• Công thức tổng quát:
  - Sin, Cos: $y = a\sin(bx + c) + d$, $y = a\cos(bx + c) + d$
  - Tan, Cot: $y = a\tan(bx + c) + d$, $y = a\cot(bx + c) + d$
• Biên độ:$A = |a|$(chỉ với sin, cos)
• Chu kỳ:
  - Sin, Cos:$T = \frac{2\pi}{|b|}$
  - Tan, Cot:$T = \frac{\pi}{|b|}$
• Pha ban đầu/tịnh tiến ngang:$-\frac{c}{b}$
• Tịnh tiến dọc:$d$

6. Các biến thể của bài toán và cách điều chỉnh chiến lược

- Nếu$a < 0$: Đồ thị bị lật lại qua trục$d$(trục hoành).
- Nếu$b < 0$: Đồ thị đối xứng qua trục$Oy$.
- Đối với tan, cot: Chú ý các tiệm cận đứng tại nghiệm của$bx + c = \frac{\pi}{2} + k\pi$(tan) hoặc$bx + c = k\pi$(cot), với$k \in \mathbb{Z}$.

7. Bài tập mẫu với lời giải chi tiết

Đề bài: Vẽ đồ thị hàm số $y = -3\cos \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right)$.

Bước 1: Phân tích

• $a = -3$; biên độ $A = 3$.
• $b = 2$; chu kỳ $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
• $c = \frac{\pi}{3}$; pha ban đầu, tịnh tiến trái$\frac{\pi}{6}$.
• $d = 0$; không tịnh tiến dọc.

Bước 2: Xác định cực trị và điểm đặc biệt

• Giá trị lớn nhất:$0 + 3 = 3$.
• Giá trị nhỏ nhất:$0 - 3 = -3$.

Bước 3: Lập bảng giá trị

Chọn các giá trị:$x_0$sao cho$2x_0 + \frac{\pi}{3} = 0; \frac{\pi}{2}; \pi; \frac{3\pi}{2}; 2\pi$...

• $2x + \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6}$;$y= -3$
• $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{12}$;$y = 0$.
• $2x + \frac{\pi}{3} = \pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$;$y = 3$.

Sau khi tính giá trị tương ứng, chấm các điểm này lên đồ thị và vẽ dạng sóng cos ngược (do$a < 0$).

8. Bài tập thực hành

• Vẽ đồ thị hàm $y = 2\sin 2x$.
• Vẽ đồ thị hàm$y = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - 1$.
• Vẽ đồ thị hàm$y = -\tan x + 2$trên đoạn$\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$.
• Vẽ đồ thị hàm$y = 0.5\cot(2x)$trong khoảng$0 < x < \pi$.

9. Mẹo và lưu ý khi vẽ đồ thị hàm số lượng giác

• Chú ý dấu của$a$(lật đồ thị) và $b$(đối xứng qua$Oy$).
• Luôn tính và ghi rõ chu kỳ, biên độ trước khi vẽ.
• Các điểm đặc biệt như điểm cực đại, cực tiểu, giao trục tung/trục hoành giúp đồ thị chính xác.
• Đối với tan, cot phải xác định các đường tiệm cận đứng và miền xác định.
• Luyện tập đầy đủ các trường hợp đặc biệt như $a < 0$,$b < 0$,$d \neq 0$,...
• Nếu khó nhớ, hãy bắt đầu bằng vẽ đồ thị cơ bản rồi biến đổi từng bước.