Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc là một nội dung trung tâm trong chương trình Toán học lớp 11, thuộc phần quan hệ vuông góc trong không gian. Nội dung này giúp học sinh hiểu rõ hơn về không gian ba chiều, phát triển tư duy lập luận hình học và làm nền tảng cho nhiều chuyên đề tiếp theo như hình học không gian, lượng giác không gian, cũng như ứng dụng trong thực tiễn. Việc nắm vững cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc là yêu cầu trọng yếu để học tốt các chương tiếp theo của môn Hình học lớp 11 cũng như phục vụ ôn luyện các kỳ thi quan trọng.

Định nghĩa chính xác về hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng 90°, hay nói cách khác là chúng tạo với nhau một góc vuông. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và góc tạo bởi chúng là $90^\circ$. Trong không gian, hai đường thẳng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, và ta nói hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng là góc vuông.

Định nghĩa hình học không gian: Hai đường thẳng$a$và $b$gọi là vuông góc với nhau (ký hiệu:$a \perp b$) nếu có một đường thẳng$c$cắt cả $a$và $b$tại hai điểm phân biệt, và hai góc tạo bởi$c$với$a$và với$b$là hai góc vuông.

Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh hai đường thẳng$a$và $b$vuông góc với nhau trong mặt phẳng hoặc trong không gian, ta chủ yếu sử dụng các phương pháp sau đây:

1. Sử dụng định nghĩa: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng là $90^\circ$.
2. Sử dụng véc-tơ chỉ phương: Nếu hai véc-tơ chỉ phương$\vec{u}$và $\vec{v}$của hai đường thẳng thoả mãn$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$thì hai đường đó vuông góc.
3. Sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia thì hai đường đó vuông góc.
4. Sử dụng các định lý hình học không gian như định lý ba đường vuông góc, tính chất trực tâm, trung tuyến vuông góc, ...

Ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông tại$A$, cạnh bên$SA$vuông góc với mặt phẳng$(ABC)$. Chứng minh$SA \perp BC$.

Giải: Vì $SA \perp (ABC)$nên$SA \perp BC$theo tính chất "một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó". Vậy$SA \perp BC$.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng$d_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z}{3}$và $d_2: \frac{x}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+1}{-6}$.
Chứng minh$d_1 \perp d_2$.

Giải: Tìm véc-tơ chỉ phương của$d_1$là $\vec{u}_1 = (1, -2, 3)$, của$d_2$là $\vec{u}_2 = (2, 1, -6)$. Ta tính tích vô hướng:
$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \times 2 + (-2) \times 1 + 3 \times (-6) = 2-2-18 = -18 \neq 0$
Vậy hai đường thẳng không vuông góc. (Nếu tích vô hướng bằng 0 thì hai đường vuông góc)
Ví dụ, nếu đề bài yêu cầu chứng minh vuông góc, có thể điều chỉnh véc-tơ chỉ phương để thử lại.

Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

1. Hai đường thẳng cắt nhau: Dễ xác định góc giữa chúng, chứng minh vuông góc dựa trên định nghĩa hoặc tích vô hướng giữa các véc-tơ chỉ phương.
2. Hai đường thẳng chéo nhau: Góc giữa hai đường là góc giữa hai véc-tơ chỉ phương cùng phương với chúng, song song hóa các véc-tơ (qua điểm tự do).
3. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường kia thuộc mặt phẳng đó: Tự động vuông góc.

Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm hai đường thẳng vuông góc liên quan mật thiết đến:

• Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng
• Ứng dụng trong việc xác định trực tâm, trọng tâm, trung tuyến, trực tuyến vuông góc trong tam giác
• Sử dụng trong xây dựng hệ trục tọa độ vuông góc, vector vuông góc, tính tích vô hướng

Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Trong hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$, chứng minh rằng hai đường thẳng$AC'$và $B'D$vuông góc với nhau.

Lời giải:

Gọi$a$là cạnh hình lập phương. Lấy gốc tọa độ tại$A(0,0,0)$,$B(a,0,0)$,$D(0,a,0)$,$A'(0,0,a)$,$C'(a,a,a)$,$B'(a,0,a)$,$D'(0,a,a)$.
$\bullet$AC'$nhận véc-tơ chỉ phương$\vec{u}_1 = (a,a,a)$<br />$\bullet$B'D$nhận véc-tơ chỉ phương$\vec{u}_2 = (-a,a,-a)$
Tính tích vô hướng:
$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = a \times (-a) + a \times a + a \times (-a) = -a^2 + a^2 - a^2 = -a^2$
Vậy$\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 \neq 0$, hai đường không vuông góc.
Nếu sửa lại đề bài, chọn hai đường chéo trong hai mặt phẳng vuông góc nhau, hoặc xét các đường như $AA'$và $BC$(do trực tiếp vuông góc mặt phẳng).

Bài tập 2: Cho tam giác$ABC$vuông tại$A$trong mặt phẳng$(Oxy)$, độ dài$AB = 3$,$AC = 4$. Đường thẳng$d_1$ đi qua$A(0,0,0)$và vuông góc với mặt phẳng$(Oxy)$, đường thẳng$d_2$là cạnh$BC$. Chứng minh$d_1 \perp d_2$.
Lời giải: Vì $d_1$vuông góc mặt phẳng$(Oxy)$, còn$d_2$là đoạn thẳng nằm trong$(Oxy)$nên tự động hai đường vuông góc nhau.

Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa vuông góc trong mặt phẳng và vuông góc trong không gian: Cần xác định rõ vị trí, mối quan hệ của các đường thẳng
• Không kiểm tra kỹ tích vô hướng của các véc-tơ chỉ phương: Dễ bị sai dấu hoặc nghiệm không đúng
• Không sử dụng tính chất hình học thích hợp: Hãy nhớ các định lý như "đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường trong mặt phẳng đó"
• Cố chứng minh vuông góc cho đường thẳng chéo nhau mà không xác định góc giữa hai véc-tơ chỉ phương

Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng là $90^\circ$.
- Có nhiều phương pháp chứng minh: định nghĩa, véc-tơ, sử dụng tính chất hình học.
- Luôn xác định vị trí của hai đường trong không gian, xét trường hợp đặc biệt.
- Vận dụng kiến thức về tích vô hướng của véc-tơ để chứng minh chính xác.
- Ôn luyện các bài tập thực tiễn để thành thục kỹ năng nhận diện và chứng minh.
Chứng minh hai đường thẳng vuông góc là kỹ năng nền tảng cho hình học không gian lớp 11 và học tiếp lên cao hơn.