1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình hình học lớp 11, khái niệm về dựng đường thẳng song song qua một điểm là một kiến thức nền tảng và xuất hiện nhiều trong các bài toán về quan hệ song song trong không gian. Việc hiểu rõ và biết cách dựng đường thẳng song song không chỉ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập hình học phẳng, không gian mà còn là kiến thức quan trọng trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và thi tốt nghiệp THPT.

2. Định nghĩa chính xác về "Dựng đường thẳng song song qua một điểm"

Cho trước một đường thẳng$d$và một điểm$A$không nằm trên$d$. Dựng đường thẳng song song với$d$ đi qua điểm$A$nghĩa là tìm một đường thẳng$d'$ đi qua$A$sao cho$d' \parallel d$.

Theo tiên đề Ơ-clít về song song: Với mỗi đường thẳng$d$và một điểm$A$không thuộc$d$, chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua$A$và song song với$d$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Chúng ta sẽ thực hiện việc dựng hình theo các bước dưới đây (có thể sử dụng thước kẻ và compa hoặc vẽ hình bằng phần mềm hỗ trợ):

Giả sử cần dựng đường thẳng song song với$d$ đi qua điểm$A$không nằm trên$d$.

Các bước dựng bằng thước và compa

Bước 1: Vẽ đường thẳng$d$và xác định điểm$A$(không thuộc$d$).

Bước 2: Chọn một điểm$B$bất kỳ trên$d$.

Bước 3: Dùng compa lấy$A$làm tâm, vẽ một cung tròn cắt$d$tại$C$(với bán kính$AB$).

Bước 4: Dùng compa xác định điểm$D$trên cung tròn sao cho$AB = CD$.

Bước 5: Nối$A$với$D$. Khi đó,$AD$chính là đường thẳng cần dựng, song song với$d$và đi qua điểm$A$.

Ví dụ minh họa:

Cho đường thẳng$d: y = 2x + 1$và điểm$A(1; 4)$, hãy viết phương trình đường thẳng$d'$ đi qua$A$và song song với$d$.

Giải:

Đường thẳng$d$có hệ số góc$k = 2$. Đường thẳng$d'$song song với$d$nên cũng có hệ số góc$k = 2$.

Phương trình$d'$ đi qua$A(1; 4)$là:

$y = 2x + b$

Thay tọa độ $A$vào:

$4 = 2 \times 1 + b \Rightarrow b = 2$

Vậy phương trình đường thẳng$d'$cần tìm là $y = 2x + 2$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Nếu điểm$A$nằm trên$d$, thì không thể dựng được đường thẳng khác đi qua$A$mà vừa song song vừa khác với$d$(trừ trường hợp nằm chồng lên nhau).

- Nếu$d$là đường thẳng đứng ($x = a$), thì $d'$cũng phải là một đường thẳng đứng ($x = x_0$với$x_0$là hoành độ của điểm$A$).

- Nếu$d$là đường thẳng nằm ngang ($y = b$), thì $d'$cũng sẽ là đường thẳng ngang ($y = y_0$với$y_0$là tung độ điểm$A$).

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Khái niệm dựng đường thẳng song song qua một điểm liên quan mật thiết tới:

• Tiên đề Ơ-clít về song song.
• Khái niệm góc so le trong, góc đồng vị.
• Tính chất hình bình hành, hình chữ nhật và các hình có cạnh đối song song.
• Viết phương trình đường thẳng song song trong hệ tọa độ.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho đường thẳng$d: y = -3x + 2$và điểm$A(-1; 5)$. Hãy dựng đường thẳng$d'$ đi qua$A$và song song với$d$.

Giải:

1. Do$d'$song song với$d$nên có hệ số góc$k = -3$.
2. Phương trình$d'$có dạng:$y = -3x + b$
3. Thay$A(-1;5)$vào phương trình:$5 = -3(-1) + b \rightarrow 5 = 3 + b \rightarrow b = 2$
4. Vậy phương trình$d'$là $y = -3x + 2$

(Lưu ý: Kết quả trùng với$d$, nghĩa là điểm$A$thật ra nằm trên$d$– kiểm tra lại: với$x = -1$,$y = -3 imes (-1) + 2 = 3 + 2 = 5$, đúng bằng$y_A$)

Kết luận: Chỉ có một đường thẳng duy nhất, và nó trùng với$d$. Trường hợp này là trường hợp đặc biệt như mục 4 đã nêu.

Bài tập 2: Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật$ABCD.A'B'C'D'$. Gọi$M$là trung điểm của$AB$,$N$là trung điểm của$A'D'$. Hãy dựng đường thẳng đi qua$M$và song song với cạnh$BC'$.

Giải:

1. Tìm toạ độ các điểm (giả sử hình hộp có $A(0,0,0)$,$B(a,0,0)$,$C(a,b,0)$,$D(0,b,0)$,$A'(0,0,h)$,$B'(a,0,h)$,$C'(a,b,h)$,$D'(0,b,h)$)
2. Toạ độ $M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$và $N = \left(0, b, \frac{h}{2} \right)$
3. Cạnh$BC' = B( a,0,0 ) \rightarrow C'( a,b,h )$có vec-tơ chỉ phương$\overrightarrow{BC'} = (0, b, h)$
4. Đường thẳng cần tìm đi qua$M$và có vec-tơ chỉ phương$\vec{u} = (0, b, h)$:
   $$\left\{\begin{array}{l} x = \frac{a}{2} \\y = b t \\z = h t \\\end{array} \right.$$
   với$t \in \mathbb{R}$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Chọn sai hệ số góc khi viết phương trình đường thẳng song song.
• Áp dụng nhầm dạng phương trình (dạng tổng quát, tham số, v.v.)
• Không kiểm tra xem điểm$A$có nằm trên$d$hay không trước khi dựng.
• Vẽ hình không chính xác dẫn tới dựng sai đường thẳng song song.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Chỉ có một đường thẳng duy nhất đi qua điểm$A$và song song với$d$(với$A$không nằm trên$d$).
• Muốn viết phương trình đường thẳng song song với$d: y = kx + b$, chỉ cần giữ nguyên$k$và thay$b$ để thỏa mãn điều kiện đi qua điểm cho trước.
• Cần chắc chắn điểm$A$không nằm trên$d$ để không rơi vào trường hợp đặc biệt.
• Áp dụng cho cả hình học phẳng và hình học không gian.