Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình toán lớp 11, "giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây" là một nội dung thực tiễn, trực quan và rất quan trọng. Bài toán xác suất thường liên quan đến các tình huống ngẫu nhiên với nhiều bước phát sinh liên tiếp nhau. Khi đó, việc dùng sơ đồ hình cây giúp ta mô hình hóa, nhận diện rõ ràng các trường hợp có thể xảy ra và tính toán xác suất chính xác, tránh bỏ sót hoặc lặp lại các trường hợp.

2. Định nghĩa sơ đồ hình cây trong giải bài toán xác suất

Sơ đồ hình cây là một loại sơ đồ được sử dụng để mô tả mối quan hệ giữa các kết quả có thể xảy ra của một chuỗi các hành động độc lập hoặc phụ thuộc liên tiếp. Mỗi nhánh của cây đại diện cho một khả năng cụ thể kèm theo xác suất xảy ra. Sơ đồ này giúp liệt kê toàn bộ các kết quả trong không gian mẫu theo lối phân nhánh, từ đó dễ dàng tính toán xác suất của các sự kiện phức tạp.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Hãy cùng tìm hiểu cách thực hiện giải bài toán xác suất bằng sơ đồ hình cây qua ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1: Xác suất rút hai lá bài đỏ liên tiếp từ bộ bài 52 lá (không hoàn lại)

Bước 1: Xác định các giai đoạn (các lần rút lá bài)
- Lần 1: Rút lá đầu tiên (đỏ hoặc đen)
- Lần 2: Rút lá thứ hai (đỏ hoặc đen, phụ thuộc vào kết quả lần 1)

Bước 2: Vẽ sơ đồ hình cây
- Gốc cây là trạng thái bắt đầu khi chưa rút lá nào.
- Nhánh thứ nhất: rút lá đỏ (26/52 xác suất), rút lá đen (26/52 xác suất).
- Từ mỗi nhánh của lần rút thứ nhất, tiếp tục vẽ hai nhánh cho lần rút thứ hai:
- Nếu rút lá đầu tiên là đỏ (còn 25 đỏ, 26 đen):
+ Rút tiếp đỏ: xác suất là 25/51
+ Rút tiếp đen: xác suất là 26/51
- Nếu rút lá đầu tiên là đen (còn 26 đỏ, 25 đen):
+ Rút tiếp đỏ: xác suất là 26/51
+ Rút tiếp đen: xác suất là 25/51

Bước 3: Xác định xác suất kết quả cần tìm
- Sự kiện hỏi: cả hai lá đều đỏ.
- Theo sơ đồ cây, đường đi tương ứng là:
+ Rút đỏ lần 1 (26/52), rồi đỏ lần 2 (25/51).
- Vậy xác suất:

$P = \frac{26}{52} \times \frac{25}{51} = \frac{1}{2} \times \frac{25}{51} = \frac{25}{102}$

Như vậy, xác suất để rút được 2 lá bài đỏ liên tiếp (không hoàn lại) là $\frac{25}{102}$.

Ví dụ 2: Tung đồng xu hai lần

Với mỗi lần tung, chỉ có 2 kết quả: Sấp ($S$) hoặc Ngửa ($N$).
Bước 1: Xác định các giai đoạn — tung lần 1, tung lần 2.
Bước 2: Vẽ sơ đồ hình cây:
- Tung lần 1: Sấp ($\frac{1}{2}$), Ngửa ($\frac{1}{2}$)
- Mỗi kết quả này, tiếp tục phân nhánh ở lần 2: Sấp ($\frac{1}{2}$), Ngửa ($\frac{1}{2}$)

Bước 3: Xác suất xuất hiện 2 kết quả giống nhau (tức là S-S hoặc N-N):
-$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
Vậy xác suất yêu cầu là $\frac{1}{2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

Khi sử dụng sơ đồ hình cây, cần chú ý các trường hợp:
- Nếu các phép thử ĐỘC LẬP (như tung xu nhiều lần), các nhánh tại mỗi cấp đều có xác suất như nhau.
- Nếu các phép thử PHỤ THUỘC, xác suất các nhánh ở cấp sau phải được tính theo kết quả các nhánh trước (như rút bài không hoàn lại).
- Luôn kiểm tra tổng xác suất của tất cả các nhánh con phát sinh từ một nhánh bất kỳ là 1.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Sơ đồ hình cây là biểu diễn trực quan của các nguyên lý đếm (như quy tắc nhân, quy tắc cộng) và liên quan sâu sắc đến công thức xác suất của các biến cố độc lập, biến cố phụ thuộc. Nó còn giúp tìm ra xác suất có điều kiện dễ dàng hơn qua việc "lần theo từng nhánh" trong bài toán.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1: Từ một túi có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, rút 2 bi liên tiếp không hoàn lại. Tính xác suất cả hai bi đều đỏ.

Lời giải:
Bước 1: Vẽ sơ đồ hình cây gồm 2 cấp:
- Cấp 1: Rút bi đỏ ($3/5$), rút bi xanh ($2/5$)
- Nếu rút bi đỏ lần 1, lần 2 còn 2 đỏ, 2 xanh:
+ Rút đỏ tiếp:$2/4=1/2$
+ Rút xanh tiếp:$2/4=1/2$
=> Xác suất 2 bi đều đỏ:$P = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

Bài tập 2: Một học sinh làm 2 bài thi trắc nghiệm. Xác suất làm đúng mỗi bài là 0,7 (độc lập). Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả 2 bài.

Lời giải:
Sơ đồ hình cây gồm 2 cấp:
- Mỗi cấp: Đúng (0,7), Sai (0,3)
- Xác suất cả hai đúng:$0,7 \times 0,7 = 0,49$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• - Quên thay đổi số lượng phần tử ở mỗi nhánh khi làm bài không hoàn lại
  - Không kiểm tra tổng xác suất các nhánh phát sinh từ một nhánh có phải là 1 không
  - Nhầm biến cố độc lập và phụ thuộc
  - Vẽ thiếu (hoặc trùng lặp) nhánh trên cây

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• - Sơ đồ hình cây giúp liệt kê đầy đủ các kết quả có thể và xác suất tương ứng.
• - Dùng thích hợp khi có nhiều phép thử liên tiếp.
• - Luôn xác định rõ từng bước, rõ kết quả ở mỗi nhánh.
• - Cẩn thận kiểm tra tổng xác suất, tránh nhầm lẫn độc lập-phụ thuộc.
• - Sử dụng sơ đồ này là cách trực quan, dễ hiểu nhất để giải các bài toán xác suất nhiều giai đoạn.