Chi tiết về Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây (Toán 11): Lý thuyết, ví dụ và luyện tập miễn phí

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Sơ đồ hình cây là một công cụ trực quan, hiệu quả giúp học sinh lớp 11 giải các bài toán xác suất nhiều bước hoặc có nhiều trường hợp xảy ra. Việc sử dụng sơ đồ hình cây không chỉ nâng cao khả năng tư duy logic, mà còn giúp dễ dàng xác định toàn bộ các khả năng có thể xảy ra – một yếu tố quan trọng trong việc tính xác suất chính xác.

Nắm vững "Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây" là nền tảng để học tốt chương xác suất của môn Toán lớp 11, đồng thời rèn luyện khả năng lập luận và giải quyết vấn đề cho học sinh. Kỹ năng này còn có nhiều ứng dụng thực tế trong phân tích rủi ro, dự đoán kết quả hay ra quyết định trong cuộc sống.

Hiện tại, bạn còn có thể luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây miễn phí ngay trên trang này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa sơ đồ hình cây: Là sơ đồ liệt kê tất cả các khả năng xảy ra trong từng bước của một thí nghiệm xác suất, mỗi nhánh cây tương ứng một kết quả hoặc biến cố của từng bước.
• Mỗi đường đi từ gốc đến lá của cây tương ứng với một chuỗi kết quả của toàn bộ quá trình.
• Dễ áp dụng cho các bài toán xác suất xảy ra liên tiếp nhiều bước (như bốc bài, tung đồng xu nhiều lần, chọn thí sinh, ...).

Định lý và tính chất chính:

• Xác suất của một đường đi = tích các xác suất trên từng nhánh của đường đi đó.
• Tổng xác suất các đường đi "cùng tới một kết quả" bằng xác suất của kết quả đó.

Điều kiện áp dụng:

• Các bước của thí nghiệm cần có mối liên hệ (có điều kiện), hoặc có nhiều trường hợp phân nhánh rõ ràng.
• Không phù hợp cho bài toán có quá nhiều bước khiến số nhánh quá lớn, gây khó khăn trong vẽ cây.

2.2 Công thức và quy tắc

Các công thức cơ bản có liên quan khi sử dụng sơ đồ hình cây:

• Quy tắc nhân xác suất:

Nếu$A$và $B$là hai biến cố, thì xác suất đồng thời xảy ra$A$và $B$là:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

Đối với nhiều biến cố liên tiếp:$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

• Quy tắc cộng xác suất:

Nếu$B_1, B_2,...$là các biến cố rời nhau, thì xác suất$A$xảy ra qua các trường hợp là:

$P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + \dots$

Cách ghi nhớ hiệu quả: Xác suất từng đường = TÍCH, xác suất nhiều đường CÙNG kết quả = CỘNG.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Có một túi gồm 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên, sau mỗi lần không hoàn lại bi. Tính xác suất để lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh.

Giải từng bước:

• Bước 1: Xây dựng sơ đồ hình cây với hai nhánh: Lần 1 lấy đỏ (R), xanh (X).
• Bước 2: Với mỗi trường hợp ở lần 1, tiếp tục phân chia ra lấy đỏ/xanh ở lần 2.
• Bước 3: Tính xác suất theo từng nhánh (lưu ý, không hoàn lại nên xác suất mỗi bước sẽ thay đổi).

Vẽ cây:

Lần 1:

• Lấy đỏ:$P(R_1) = \frac{3}{5}$
• Lấy xanh:$P(X_1) = \frac{2}{5}$

Lần 2:

• Nếu lần 1 lấy đỏ: còn 2 đỏ, 2 xanh.$P(X_2|R_1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• Nếu lần 1 lấy xanh: còn 3 đỏ, 1 xanh.$P(R_2|X_1) = \frac{3}{4}$

Vậy xác suất lấy 1 đỏ và 1 xanh (không quan tâm thứ tự):

• Trường hợp 1: Lấy đỏ, rồi xanh:$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
• Trường hợp 2: Lấy xanh, rồi đỏ:$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$

Tổng xác suất:$\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$

Lưu ý: Phải liệt kê tất cả các trường hợp, sử dụng đúng quy tắc nhân – cộng.

3.2 Ví dụ nâng cao

Một hộp có 2 bi đỏ, 2 bi xanh, 1 bi vàng. Lần lượt lấy ra 3 viên không hoàn lại. Tính xác suất lấy được đủ 3 màu.

Cách làm:

• Dùng sơ đồ cây, phân nhánh theo màu viên đầu tiên, viên thứ hai, thứ 3.
• Liệt kê tất cả các đường đi cho phép lấy được 3 màu khác nhau.
• Tính xác suất cho mỗi đường, sau đó cộng lại.

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định số cách chọn 3 viên 3 màu (chọn 1 đỏ, 1 xanh, 1 vàng); tìm tổng số cách lấy 3 viên; chia xác suất.

Tổng số cách lấy 3 viên:$C_5^3 = 10$

Số cách lấy đủ 3 màu:$2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$

Xác suất:$\frac{4}{10} = 0{,}4$

Có thể vẽ sơ đồ cây để kiểm tra kết quả!

4. Các trường hợp đặc biệt

• Nếu các bước ĐỘC LẬP, có thể áp dụng quy tắc nhân đơn giản hơn.
• Các biến cố phụ thuộc: Xác suất ở bước sau phải tính điều kiện dựa trên các bước trước.
• Sơ đồ cây giúp làm rõ trường hợp có nhiều khả năng phân nhánh, đặc biệt là khi xác suất các nhánh khác nhau.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Không phân biệt được khi dùng quy tắc nhân/cộng.
• Không xác định chính xác các khả năng dẫn tới nhầm số trường hợp.
• Nhầm lẫn với các mô hình phân tổ hợp (không vẽ cây mà tính nhẩm, gây thiếu sót).

Cách tránh: Luôn vẽ sơ đồ cây rõ ràng, kiểm tra đủ số trường hợp, chú thích xác suất từng nhánh rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

• Tính sai do chọn sai xác suất nhánh phụ thuộc.
• Quên cộng hoặc nhân các trường hợp đúng.

Phương pháp kiểm tra: Tính tổng xác suất các đường đi phải bằng 1, đối chiếu kết quả với cách giải khác nếu có.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập ngay 42.226 bài tập Giải bài toán xác suất sử dụng sơ đồ hình cây miễn phí.

Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay lập tức để củng cố kỹ năng, theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kết quả môn toán của bạn.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Vẽ sơ đồ cây giúp liệt kê hết mọi khả năng xảy ra trong bài toán xác suất nhiều bước.
• Nhớ quy tắc: TÍCH xác suất trên đường – CỘNG xác suất các trường hợp độc lập.
• Kiểm tra kỹ lưỡng các trường hợp, xác suất và tổng xác suất.

Checklist trước khi làm bài:

• Xác định số bước, số khả năng ở mỗi bước.
• Vẽ cây, liệt kê các khả năng.
• Tính xác suất từng nhánh, cộng các trường hợp cần tìm.
• Kiểm tra (tổng xác suất = 1?)

Kế hoạch ôn tập hiệu quả: Làm thật nhiều bài mẫu, luyện tập với các biến thể để thành thạo kỹ năng vẽ và áp dụng sơ đồ hình cây trong mọi bài toán xác suất.