1. Giới thiệu về bất phương trình mũ

Trong chương trình Toán lớp 11, bất phương trình mũ là một chuyên đề quan trọng nằm trong chương Đại số. Hiểu và giải thành thạo bất phương trình mũ giúp học sinh tự tin xử lý các bài toán về hàm số mũ, logarit và các ứng dụng thực tế.

Chủ đề này không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra định kỳ mà còn là nền tảng để học sinh nâng cao kiến thức ở chương trình Giải tích và ôn thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về bất phương trình mũ

Cho số thực$a>0$và $a<br> \neq 1$. Bất phương trình mũ là bất phương trình có dạng tổng quát:

$a^{f(x)}<a^{g(x)},\quad a^{f(x)}>a^{g(x)},\quad a^{f(x)}\le a^{g(x)},\quad a^{f(x)}\ge a^{g(x)},$

trong đó $f(x)$và $g(x)$là các biểu thức chứa ẩn$x$. Khi giải, ta phải xét điều kiện xác định$a>0$và $a<br> \neq 1$, đồng thời các biểu thức mũ luôn xác định với mọi$x$.

3. Các bước giải và ví dụ minh họa

Để giải bất phương trình mũ, ta thường tuần tự thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định của bất phương trình:$a>0$,$a<br> \neq 1$.

Bước 2: Nếu có thể, chuyển cả hai vế về cùng cơ số $a$.

Bước 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ: nếu$a>1$thì hàm$a^x$ đồng biến, nếu$0<a<1$thì hàm$a^x$nghịch biến.

Bước 4: Giải bất phương trình về mũ thu được và kiểm tra điều kiện xác định.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình$2^{x-1}>8$

Giải: Ta có $8=2^3$, do đó bất phương trình trở thành:

$2^{x-1}>2^3.$

Vì cơ số $2>1$nên luỹ thừa là hàm đồng biến, suy ra$x-1>3$, tức là$x>4.$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

Khi cơ số $a$thuộc khoảng$(0,1)$, hàm số $a^x$nghịch biến, nghĩa là:

$a^{f(x)}<a^{g(x)}\iff f(x)>g(x),\qquad 0<a<1.$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình$\Bigl(\frac12\Bigr)^{x+2}\le 4.$

Giải: Viết$4=\bigl(\frac12\bigr)^{-2}$. Khi đó$\Bigl(\frac12\Bigr)^{x+2}\le\Bigl(\frac12\Bigr)^{-2}.$

Vì $0<\tfrac12<1$nên luỹ thừa nghịch biến, suy ra$x+2\ge -2$, do đó$x\ge -4.$

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Giải bất phương trình mũ gắn liền với:

- Hàm số mũ và tính đơn điệu của nó.

- Logarit: khi không thể chuyển về cùng cơ số, ta sử dụng logarit để chuyển bất phương trình mũ về dạng logarit.

- Giải tích: áp dụng trong việc xác định miền giá trị và đồ thị hàm số.

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải bất phương trình$3^{2x-1}\ge 9.$

Giải: Viết$9=3^2$. Ta có$3^{2x-1}\ge3^2.$

Vì cơ số $3>1$nên đồng biến, suy ra$2x-1\ge2$, tức$2x\ge3\implies x\ge\frac32.$

Bài tập 2: Giải bất phương trình$5^{-x}<\frac1{125}.$

Giải: Viết$\tfrac1{125}=5^{-3}$. Do đó$5^{-x}<5^{-3}.$

Vì $5>1$nên đồng biến, suy ra$-x<-3\implies x>3.$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Nhầm lẫn khi cơ số $a>1$và $0<a<1$dẫn đến sai chiều bất đẳng thức.

- Quên xét điều kiện xác định$a>0$và $a<br>eq1$.

- Không kiểm tra lại nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu khi có biểu thức khác trong bất phương trình.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Bất phương trình mũ có dạng

- Khi$a>1$: luỹ thừa đồng biến; khi$0<a<1$: luỹ thừa nghịch biến.

- Có thể chuyển về cùng cơ số hoặc dùng logarit khi cần thiết.

- Luôn kiểm tra điều kiện xác định và nghiệm tìm được.