Giải phương trình logarit: Hướng dẫn chi tiết cho học sinh lớp 11

1. Giới thiệu về khái niệm và tầm quan trọng

Trong chương trình Toán lớp 11, phương trình logarit là một nội dung quan trọng, giúp học sinh hiểu sâu hơn về hàm số logarit và ứng dụng trong các bài toán thực tế. Kỹ năng này không chỉ xuất hiện trong sách giáo khoa mà còn là dạng bài thường gặp trong đề kiểm tra định kỳ và kỳ thi tuyển sinh.

2. Định nghĩa phương trình logarit

Phương trình logarit là phương trình trong đó ẩn số nằm trong biểu thức logarit. Cơ sở của phương trình logarit được xây dựng trên định nghĩa:

$\log_a x = y \Longleftrightarrow a^y = x$, với$a>0$,$a<br>eq1$và $x>0$.

3. Các bước giải phương trình logarit cơ bản

Để giải phương trình logarit, ta thường thực hiện theo các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (DCXD) của biểu thức trong logarit, đảm bảo các biểu thức bên trong log đều dương.

2. Sử dụng tính chất logarit để thu gọn, đưa phương trình về dạng cơ sở giống nhau hoặc dạng số mũ.

3. Giải phương trình thu được (đại số, hàm mũ, bậc hai, bậc ba…).

4. Kiểm tra nghiệm thỏa DCXD ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Ví dụ 1:$\log_2(x-1)=3$

Bước 1. DCXD:$x-1>0 \Rightarrow x>1$

Bước 2. Chuyển sang dạng mũ:

$\log_2(x-1)=3 \Longleftrightarrow x-1=2^3=8$

Bước 3. Giải:$x=9$

Bước 4. Kiểm tra:$9>1$thỏa DCXD. Vậy nghiệm là $x=9$.

Ví dụ 2:$\log_3x + \log_3(x-2)=2$

Bước 1. DCXD:$x>0$và $x-2>0 \Rightarrow x>2$

Bước 2. Dùng tính chất tổng logarit:

$\log_3x+\log_3(x-2)=\log_3\bigl[x(x-2)\bigr]=2$

Bước 3. Chuyển sang dạng mũ:$x(x-2)=3^2=9$

Giải phương trình bậc hai: $x^2-2x-9=0 \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{10}$. Chỉ nghiệm $x=1+\sqrt{10} \approx 4.162$thỏa$x>2$.

4. Trường hợp phương trình logarit với cơ số khác nhau

Khi hai biểu thức logarit có cơ số khác nhau, ta chuyển về cùng cơ số bằng công thức đổi cơ số:

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

Ví dụ 3:$\log_2 x = \log_4(x-3)$

Chuyển$\log_4(x-3)$về cơ số 2:

$\log_4(x-3)=\dfrac{\log_2(x-3)}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2(x-3)}{2}$

Phương trình trở thành:

$\log_2 x = \dfrac{1}{2}\log_2(x-3) \Longleftrightarrow 2\log_2 x = \log_2(x-3)$

Áp dụng tính chất:$\log_2(x^2)=\log_2(x-3) \Rightarrow x^2=x-3 \Rightarrow x^2 - x +3 =0$.

Phương trình vô nghiệm vì $\Delta =(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 3=-11<0$.

5. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý

- Cơ số $a$luôn phải thỏa$a>0$và $a<br>eq1$.

- Biểu thức bên trong logarit phải dương ($>0$).

- Khi đổi cơ số, cần kiểm tra lại nghiệm để tránh ngoại lai.

- Tính chất$\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$chỉ áp dụng khi$u>0$,$v>0$.

6. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Phương trình logarit liên quan trực tiếp đến phương trình mũ vì logarit là hàm ngược của hàm mũ. Trong giải tích, đạo hàm và tích phân của hàm logarit ($f(x)=\ln x$) rất quan trọng:$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x},\quad \int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C.$

Trong thực tế, phương trình logarit được ứng dụng để tính các quá trình nhân đôi, giảm theo hàm mũ, ví dụ tính độ sáng của âm thanh, mức PH trong hóa học, lãi suất kép trong tài chính…

7. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1:$\log_5(x-1)-\log_5(x-4)=1$

Giải:

• DCXD:$x-1>0 \Rightarrow x>1$,$x-4>0 \Rightarrow x>4$=>$x>4$.

• Dùng tính chất:$\log_5\frac{x-1}{x-4}=1 \Rightarrow \frac{x-1}{x-4}=5^1=5$.

• Giải:$x-1=5(x-4) \Rightarrow x-1=5x-20 \Rightarrow 4x=19 \Rightarrow x=\tfrac{19}{4}=4.75$.

Kết luận: nghiệm thỏa DCXD là $x=4.75$.

Bài tập 2:$\log_2(x^2)=3$

Giải:

• DCXD:$x^2>0 \Rightarrow x<br>eq0$.

• Chuyển: $x^2=2^3=8 \Rightarrow x= \pm \sqrt{8}= \pm 2\sqrt{2}$.

Kết luận: nghiệm là $x=2\sqrt{2}$hoặc$x=-2\sqrt{2}$.

8. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên kiểm tra điều kiện xác định, dẫn đến nghiệm ngoại lai.

- Nhầm lẫn khi đổi cơ số nhưng không kiểm tra lại nghiệm cuối cùng.

- Viết sai dấu trong biểu thức log tổng hoặc log hiệu.

- Không áp dụng đúng tính chất logarit khi cộng/trừ.

9. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• Luôn bắt đầu với điều kiện xác định$($biểu thức trong log$>0$, cơ số $>0$,$<br>eq1)$.

• Sử dụng tính chất cơ bản:$\log_a u+\log_a v=\log_a(uv)$,$\log_a u-\log_a v=\log_a\tfrac{u}{v}$,$\log_a u^k=k\log_a u$.

• Khi cơ số khác nhau, áp dụng công thức đổi cơ số. Kiểm tra nghiệm sau khi chuyển đổi.

• Sau khi giải, luôn kiểm tra nghiệm vào điều kiện ban đầu để loại bỏ nghiệm không hợp lệ.