Giải thích chi tiết: Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực (Toán 11)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực là một trong những kiến thức trọng tâm thuộc chương VI – Hàm số mũ và hàm số lôgarit trong chương trình Toán lớp 11. Ở các lớp trước, bạn đã biết về luỹ thừa với số mũ nguyên. Ở lớp 11, khái niệm này được mở rộng ra trường hợp số mũ thực - cho phép áp dụng luỹ thừa cho cả số mũ phân số, số vô tỉ,…

Việc hiểu rõ luỹ thừa với số mũ thực là nền tảng để học tốt các phần tiếp theo như hàm số mũ, hàm số lôgarit, giải phương trình – bất phương trình mũ, và rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết lẫn thực tế cuộc sống như: tính lãi suất kép, tăng trưởng dân số, giải toán vật lý về phóng xạ,… Hơn nữa, bạn sẽ được luyện tập miễn phí với 42.226+ bài tập Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực để rèn luyện kỹ năng từ cơ bản đến nâng cao.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa: Với$a>0$và $r$là số thực, luỹ thừa với số mũ thực được định nghĩa như sau:

$a^r = e^{r imes ext{ln} a}$

• Tính chất quan trọng:
-$a^0 = 1$với$a > 0$
-$a^1 = a$
-$a^{m+n} = a^m imes a^n$
-$a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$($a > 0$,

• Điều kiện áp dụng: Cơ số $a$phải dương ($a > 0$), số mũ $r$là số thực.

2.2 Công thức và quy tắc

• Các công thức cơ bản cần thuộc:
- $a^0 = 1$
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$với$a > 0,n \in \mathbb{N}^*$
- $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$

• Cách ghi nhớ: Gắn công thức với hình ảnh/thực tế, luyện nhiều bài tập đa dạng.

• Điều kiện sử dụng: Với các căn bậc chẵn,$a > 0$. Khi số mũ âm nhớ đảo ngược cơ số.

• Biến thể: Có thể sử dụng kết hợp nhiều công thức trên, đặc biệt khi xử lý biểu thức phức tạp liên quan nhiều số mũ khác nhau.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Tính$8^{2/3}$.

Giải: Ta có:

$8^{2/3} = (8^{1/3})^{2} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

- Xác định đúng công thức: $a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m$
- Giải từng bước, chú ý lấy căn bậc ba, rồi mới bình phương kết quả.

3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Tính$27^{-4/3}$.

Giải:$27^{-4/3} = \left(27^{1/3}\right)^{-4} = (3)^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

- Khi gặp số mũ âm, nhớ chuyển thành phân số nghịch đảo.
- Áp dụng luỹ thừa với số mũ thực linh hoạt.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$a < 0$, chỉ xác định luỹ thừa với số mũ nguyên lẻ, không áp dụng cho số mũ thực tổng quát.
- Với$a = 0$, chỉ hữu nghĩa khi số mũ dương.
- Luỹ thừa với$0$hoặc$1$thường dùng làm trường hợp đặc biệt, cần ghi nhớ quy ước.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm luỹ thừa với số mũ thực và số mũ nguyên.
- Nhớ sai điều kiện xác định cơ số $a > 0$.
- Phân biệt rõ luỹ thừa với căn bậc$n$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Áp dụng sai công thức: Đổi nhầm$a^{1/n}$thành$a/n$.
- Tính toán thiếu cẩn thận khi gặp số mũ âm/phân số.
- Luôn kiểm tra lại kết quả với máy tính nếu cần.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn hoàn toàn có thể truy cập 42.226+ bài tập Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực miễn phí. Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay để củng cố và nâng cao kỹ năng. Ngoài ra, bạn còn có thể theo dõi tiến độ học tập và cải thiện từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Điểm chính: Luỹ thừa với số mũ thực chỉ xét khi cơ số dương.
- Nhớ các công thức chuyển đổi giữa căn và luỹ thừa số mũ thực.
- Đọc thật kỹ điều kiện xác định trước khi giải bài tập.
- Checklist kiến thức: Đã nắm chắc định nghĩa, tính chất, các công thức và trường hợp đặc biệt?
- Kế hoạch ôn tập: Mỗi ngày làm ít nhất 5 bài tập thực hành, tra cứu lại lý thuyết nếu còn nhầm lẫn.