1. Giới thiệu về "Bài tập cuối chương VII" và tầm quan trọng trong toán học lớp 11

"Bài tập cuối chương VII" trong sách giáo khoa Toán 11 là phần tổng hợp các dạng bài trọng tâm, cung cấp cái nhìn toàn diện về chủ đề đã học. Việc làm thành thạo các bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức, kỹ năng giải toán và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng như kiểm tra định kỳ, kiểm tra học kỳ và thi THPT Quốc gia trong tương lai. Người học không chỉ hiểu sâu lý thuyết mà còn rèn luyện khả năng vận dụng giải quyết nhiều dạng toán thực tiễn.

2. Định nghĩa chính xác "Bài tập cuối chương VII" Toán 11

Bài tập cuối chương VII là tập hợp các dạng toán tiêu biểu, tóm lược lý thuyết, công thức then chốt cùng nhiều bài rèn luyện về chủ đề học trong chương VII, thường liên quan đến các vấn đề như hàm số lượng giác, phương trình lượng giác, công thức lượng giác, ứng dụng trong thực tế… Các bài tập này bao gồm phần nhận biết, vận dụng và nâng cao để kiểm tra toàn diện kiến thức của người học.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Để học tốt và hiểu sâu các bài toán cuối chương VII, học sinh nên thực hành phương pháp giải sau:

- Bước 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích yêu cầu
- Bước 2: Xác định dạng toán (hàm số lượng giác, phương trình lượng giác hay ứng dụng…)
- Bước 3: Áp dụng chính xác công thức, biến đổi phù hợp
- Bước 4: Diễn giải các bước giải toán rõ ràng
- Bước 5: Kiểm tra lại đáp án, trình bày kết luận

Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

Giải phương trình: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Bước 1: Nhận thấy $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$là giá trị đặc biệt, ta có $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bước 2: Vậy các nghiệm của phương trình là:
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \text{hoặc} x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Bước 3: Kết luận:$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$hoặc$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 2: Ứng dụng công thức lượng giác giải bài toán thực tế

Tính chiều cao$h$của ngọn tháp nếu tại hai điểm cách chân tháp lần lượt$a = 20$m và $b = 40$m, góc nâng lên đỉnh tháp là $\alpha = 60^\circ$và $\beta = 45^\circ$.

Áp dụng công thức$\tan$trong tam giác vuông, có:
$<br />\tan \alpha = \frac{h}{a}, \;<br />\tan \beta = \frac{h}{b}<br />$

Từ đó:

Ta kiểm tra hai giá trị $h$phải bằng nhau để bài toán có nghiệm. Nếu không, cần xem lại các dữ kiện thực tế hoặc giả thiết. Điều này minh họa cần kiểm tra bài toán thực tế khi áp dụng lượng giác.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

- Khi giải phương trình lượng giác, lưu ý dãy nghiệm tổng quát.
- Chú ý các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác:$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi$...
- Đối với bài toán thực tiễn, cần kiểm tra khả năng xảy ra của các giá trị hình học (ví dụ chiều cao, khoảng cách phải dương...).
- Sử dụng đúng bảng giá trị lượng giác và các công thức hạ bậc, cộng, nhân đôi… khi tính toán.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

Chủ đề của chương VII thường xuyên liên kết với kiến thức hình học (giải tam giác, ứng dụng lượng giác vào hình học, giải bài toán khoảng cách…), đại số (biến đổi phương trình, hệ phương trình), đồng thời là nền tảng để học giải tích sau này (ứng dụng đạo hàm, tích phân với hàm lượng giác). Việc hiểu chắc các bài tập cuối chương VII giúp học sinh chuyển hướng sang các chủ đề phức tạp hơn với sự tự tin vững vàng.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Giải phương trình:
$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Giải
$\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi$,$k \in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}$.

Bài tập 2: Giải hệ phương trình lượng giác sau:

Giải:
Từ $\sin x = \cos y$, mà $\cos y = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$, nên $\sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - y)$.

Vậy$x = \frac{\pi}{2} - y + k_1 2\pi$hoặc$x = \frac{\pi}{2} + y + k_2 2\pi$,$k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$.

Tương tự $\sin y = \cos x = \sin(\frac{\pi}{2} - x)$, suy ra:
$y = \frac{\pi}{2} - x + k_3 2\pi$hoặc$y = \frac{\pi}{2} + x + k_4 2\pi$

Kết hợp hai kết quả, tìm nghiệm$x, y$phù hợp.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Không viết đủ nghiệm tổng quát khi giải phương trình lượng giác.
- Nhầm lẫn giữa radian và độ khi thay vào công thức.
- Sai sót khi áp dụng công thức hạ bậc, cộng góc, nhân đôi.
- Không kiểm tra kỹ điều kiện của bài toán thực tế (chiều cao, độ dài phải dương…)

Cách tránh: Đọc kỹ đề bài và dạng toán, viết nghiệm tổng quát đầy đủ, tự lập bảng giá trị lượng giác, và luôn kiểm tra điều kiện thực tế cuối bài giải.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

- Bài tập cuối chương VII là phần cực kỳ quan trọng giúp hệ thống hóa kiến thức về lượng giác lớp 11.
- Cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản, giải phương trình lượng giác, và ứng dụng thực tế.
- Thành thạo chuyển đổi giữa radian và độ, xử lý phương trình tổng quát.
- Kiểm tra kỹ điều kiện, nghiệm và tính hợp lý của đáp số sau mỗi bài giải.