Giải thích chi tiết Bài tập cuối chương VII Toán 11 – Quan hệ vuông góc trong không gian

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

“Bài tập cuối chương VII” là tổng hợp kiến thức về Chủ đề Quan hệ vuông góc trong không gian – một phần trọng tâm của chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững các bài tập này không chỉ giúp các em củng cố kiến thức mà còn tăng khả năng giải quyết các bài toán hình học không gian trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ hay thi THPT Quốc gia. Hiểu rõ khái niệm và các dạng bài tập Bài tập cuối chương VII còn giúp các em nhận biết, ứng dụng tốt hơn các vấn đề thực tế về vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng trong không gian và luyện kỹ năng tư duy hình học chính xác.

Với 42.226+ bài tập cuối chương VII miễn phí, các em có thể luyện tập thoải mái, củng cố kỹ năng mà không lo tốn phí đăng ký!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1. Lý thuyết cơ bản

• Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Đường thẳng$d$gọi là vuông góc với mặt phẳng$(P)$nếu$d$vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong$(P)$và đi qua giao điểm của$d$với$(P)$.
• Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng$(P)$và $(Q)$vuông góc với nhau nếu tồn tại một đường thẳng thuộc$(P)$vuông góc với một đường thẳng thuộc$(Q)$tại điểm chung.
• Tính chất: Nếu các đường thẳng lần lượt vuông góc với nhau thì chúng tạo thành các góc vuông trong không gian.
• Các định lý chính: Định lí ba đường vuông góc, Định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Quan hệ giữa góc và khoảng cách trong không gian.
• Điều kiện áp dụng: Chỉ sử dụng các định lý khi có đầy đủ điều kiện về vị trí và giao điểm.

2.2. Công thức và quy tắc

• Công thức tính độ dài đường vuông góc: Nếu$A$là chân đường vuông góc hạ từ $B$xuống mặt phẳng$(P)$thì độ dài là $BA$.
• Công thức xác định các góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng:
• Góc giữa đường thẳng $d$và mặt phẳng$(P)$: $\sin \alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n}|}$, trong đó $\vec{n}$là vecto pháp tuyến của$(P)$.
• Định lí ba đường vuông góc: Nếu $a \perp b$và $b \subset (P)$, $a$không nằm trong$(P)$, thì $a \perp (P)$.
• Cách ghi nhớ: Vẽ hình và xác định các góc, cạnh đặc biệt bằng màu sắc/gạch chân khi ôn tập.
• Các biến thể: Người ra đề có thể yêu cầu chứng minh đường thẳng vuông góc, tìm góc, tính khoảng cách,...

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Trong hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông tại$A$,$SA$vuông góc với đáy. Hãy chứng minh$SB \perp (ABC)$.

• Bước 1: Hình chóp$S.ABC$có $SA \perp (ABC)$(giả thiết).
• Bước 2:$SB$thuộc mặt phẳng$(SAB)$. Vì $SA \perp (ABC)$nên$SA \perp AB$và $SA \perp AC$.
• Bước 3:$SB$là cạnh bên đi qua$B$, nên$SB \perp (ABC)$vì $SA \perp (ABC)$và $SB$cùng nằm trong mặt phẳng$(SAB)$. (Vận dụng định lý ba đường vuông góc!)
• Lưu ý: Luôn vẽ hình, ghi rõ các giả thiết vào hình để tránh nhầm lẫn.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Cho hình lập phương$ABCD.A'B'C'D'$, chứng minh rằng$AC' \perp (A'B'C')$và tính góc giữa hai đường chéo$AC$và $BD'$.

• Dựng hình vuông đáy, xác định các điểm$A$,$B$,$C$,$D$,$A'$,$B'$,$C'$,$D'$.
• Chứng minh$AC'$là đường chéo nối giữa hai mặt phẳng vuông góc, vì $AC'$ đi từ đỉnh dưới lên đỉnh trên đối diện, còn mặt phẳng$(A'B'C')$là mặt trên.
• Dùng tích vô hướng hoặc sử dụng tọa độ, nếu bài yêu cầu tính góc giữa hai đường chéo, áp dụng:
• Sử dụng công thức với tọa độ: Đặt$a = (x_1, y_1, z_1)$,$b = (x_2, y_2, z_2)$thì $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.
• Vẽ hình rõ ràng, xác định thứ tự các điểm để không bị nhầm lẫn ký hiệu.

4. Các trường hợp đặc biệt

• Khi hai mặt phẳng vuông góc, mọi đường vuông góc với giao tuyến đều thuộc cả hai mặt phẳng.
• Nếu hai đường thẳng không cắt nhau (chéo nhau), cần xác định chính xác vị trí trước khi kết luận góc.
• Có thể gặp trường hợp các đoạn thẳng đồng quy tại một điểm hoặc đồng phẳng – cần kiểm tra kỹ điều kiện.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

• Nhầm lẫn giữa vuông góc và đồng phẳng/vị trí tương đối.
• Không xác định đúng giao điểm hoặc giao tuyến để áp dụng định lý.
• Cách tránh: Luôn vẽ hình, xác định kỹ các vị trí và điều kiện trước khi kết luận.

5.2 Lỗi về tính toán

• Áp dụng sai công thức tính góc, tính tích vô hướng chưa đúng.
• Bỏ qua điều kiện về vuông góc, lấy nhầm số liệu.
• Cách kiểm tra: Sau khi giải xong, thay kiểm tra lại từng bước, rà soát theo sơ đồ các bước đã học.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập 42.226+ bài tập Bài tập cuối chương VII miễn phí, không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập ngay! Theo dõi tiến độ học tập và cải thiện kỹ năng một cách hiệu quả mỗi ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

• Bài tập cuối chương VII tổng hợp kiến thức về quan hệ vuông góc đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
• Nắm vững các định nghĩa, định lý, công thức tính góc, chứng minh vuông góc.
• Luôn vẽ hình, xác định kỹ các vị trí và kiểm tra chéo lại kết quả.
• Kế hoạch ôn tập: Làm hết các bài tập mẫu, kiểm tra lý thuyết trước khi làm bài, tổng hợp lỗi sai để rút kinh nghiệm.