Giải thích chi tiết khái niệm: Bài 7 - Cấp số nhân (Toán lớp 11)

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Bài 7: Cấp số nhân là một phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán 11 – "Chương II. Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân". Đây là nền tảng để tiếp cận các chủ đề dãy số, chuỗi số, hàm số mũ và các ứng dụng thực tế như lãi kép, sự tăng trưởng trong kinh tế, khoa học, kỹ thuật, v.v. Hiểu rõ khái niệm này giúp bạn giải các bài toán liên quan dễ dàng hơn, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, bạn có thể luyện tập với hàng trăm bài tập Bài 7: Cấp số nhân miễn phí – luyện tập mọi lúc, nâng cao kỹ năng không giới hạn.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

### 2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Một dãy số $\{u_n\}$ được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng được tạo từ số hạng đứng ngay trước nó bằng cách nhân với một số không đổi$q$(gọi là công bội).

- Công thức tổng quát:
$<br />u_{n+1} = u_n \cdot q \qquad \forall n \geq 1$

-$q$gọi là công bội của cấp số nhân ($q \neq 0$),$u_1$là số hạng đầu tiên. Nếu$|q| < 1$, cấp số nhân giảm;$|q| > 1$, cấp số nhân tăng.

- Điều kiện:$q \neq 0$và mọi$u_n$không bị triệt tiêu về $0$nếu dãy số là CSN chính quy.

### 2.2 Công thức và quy tắc

- Số hạng tổng quát:
$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

- Tổng$n$số hạng đầu của CSN:
$S_n = u_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} \quad (q \neq 1)$

- Nếu$q = 1$(cấp số nhân lùi về dãy hằng),$S_n = u_1 \cdot n$.

- Ghi nhớ công thức: Dùng sơ đồ cây, gắn ý nghĩa thực tế của$u_1$(số đầu) và $q$(tỉ số nhân liên tiếp), luyện tập điền công thức vào các bài mẫu.

- Dùng công thức nào khi nào: Nếu cần tìm số hạng cụ thể $u_n$→ dùng$u_n = u_1 q^{n-1}$; tính tổng dãy → dùng công thức$S_n$.

- Các biến thể: Khi biết các số hạng không liên tiếp có thể dùng tỉ số $\frac{u_k}{u_m} = q^{k-m}$hoặc lấy logarit hai vế để giải quyết nếu$q$là ẩn số.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

#### 3.1 Ví dụ cơ bản

Bài toán: Cho cấp số nhân có $u_1 = 3$, công bội$q = 2$. Tính$u_5$.

Giải:
- Áp dụng công thức số hạng tổng quát:
$u_5 = u_1 q^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$
- Lưu ý: Chú ý đúng số mũ $n-1$và tính giá trị dần từng bước.

#### 3.2 Ví dụ nâng cao

Bài toán: Cho cấp số nhân có $u_1 = 2$,$q = 3$. Tính tổng 6 số hạng đầu tiên.

Giải:
- Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:
$S_6 = u_1 \cdot \frac{1-q^6}{1-q} = 2 \cdot \frac{1-3^6}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-729}{-2} = 2 \cdot \frac{-728}{-2} = 2 \cdot 364 = 728$
- Kỹ thuật giải nhanh: Tính giá trị $q^n$trước, kiểm tra kỹ dấu âm dương khi$q > 1$, tránh nhầm lẫn.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$q = 1$, dãy trở thành dãy số hằng$u_n = u_1$, tổng$S_n = u_1 n$.
- Nếu$q = -1$, dãy số xen kẽ $u_1, -u_1, u_1, -u_1,...$tổng$S_n$tùy số hạng chẵn/lẻ.
- Nếu$u_1 = 0$thì mọi số hạng đều$=0$(trừ khi$q$không xác định).

Mối liên hệ: Cấp số nhân là họ hàng với cấp số cộng khi công bội$q \to 1$.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

#### 5.1 Lỗi về khái niệm
- Nhầm lẫn cấp số cộng (tăng/giảm đều) với cấp số nhân (nhân liên tiếp).
- Ghi nhầm công bội thành công sai, nhầm lẫn giữa$q$và số hạng đầu.
- Cách nhớ chính xác: Đọc kỹ đề, kiểm tra định nghĩa, vẽ sơ đồ dãy số.

#### 5.2 Lỗi về tính toán
- Quên mũ $n-1$trong công thức$u_n$.
- Tính nhanh$q^n$có thể sai dấu hoặc nhầm giá trị khi$q$ âm.
- Kiểm tra kết quả: Thay số trực tiếp vào công thức, đối chiếu lại với đề bài.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Khám phá ngay 42.226+ bài tập Bài 7: Cấp số nhân miễn phí – không cần đăng ký, luyện tập trực tiếp trên điện thoại, máy tính. Theo dõi tiến độ làm bài, nhận đánh giá tự động, nâng cao kỹ năng từng ngày!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Cấp số nhân là dãy số mà mỗi số hạng (từ vị trí thứ hai trở đi) bằng số hạng trước nhân với số $q$không đổi.
- Công thức tổng quát:$u_n = u_1 q^{n-1}$, tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.
- Kiểm tra kỹ khái niệm, áp dụng công thức đúng tình huống.
- Luyện tập thường xuyên với các bài tập miễn phí giúp bạn ghi nhớ và thành thạo.

Checklist kiến thức:
- Hiểu định nghĩa, công thức, các trường hợp đặc biệt
- Biết áp dụng công thức, kiểm tra kết quả
- Phân biệt với các dãy khác (như cấp số cộng)
- Luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo kỹ năng

$u_1 = 2$ , $q = 3$ và đường biểu diễn tổng dồn $S_n$ , kèm chú thích giá trị $S_6 = 728$ " title="Hình minh họa: Biểu đồ cột minh họa 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $u_1 = 2$ , $q = 3$ và đường biểu diễn tổng dồn $S_n$ , kèm chú thích giá trị $S_6 = 728$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />

$u_1 = 3$ , $q = 2$ từ n = 1 đến n = 5, kèm chú thích công thức tổng quát $u_n = u_1 q^{n-1}$ và phép tính cụ thể $u_5 = 3 \cdot 2^4 = 48$ " title="Hình minh họa: Biểu đồ cột các số hạng cấp số nhân $u_1 = 3$ , $q = 2$ từ n = 1 đến n = 5, kèm chú thích công thức tổng quát $u_n = u_1 q^{n-1}$ và phép tính cụ thể $u_5 = 3 \cdot 2^4 = 48$ " class="max-w-full h-auto mx-auto rounded-lg shadow-sm" />