Giải thích chi tiết: Bài tập cuối chương VII Toán 11 – Quan hệ vuông góc trong không gian

1. Giới thiệu và Tầm quan trọng

“Bài tập cuối chương VII” trong sách giáo khoa Toán 11 nằm ở phần Hình học không gian, cụ thể là chương “Quan hệ vuông góc trong không gian”. Đây là bộ bài tập tổng kết, giúp học sinh củng cố và vận dụng toàn diện những kiến thức đã học trong chương về mối quan hệ giữa đường thẳng – mặt phẳng – hình học không gian. Nắm vững các bài tập này là chìa khóa để thành thạo các kỹ năng: nhận biết, chứng minh và tính toán liên quan đến vuông góc trong không gian – kiến thức nền tảng cho học toán lớp 12 cũng như các kỳ thi quan trọng sau này.

- Hiểu kỹ “Bài tập cuối chương VII” giúp học sinh: rèn kỹ năng suy luận logic, áp dụng kiến thức trong thực tế (như xác định góc, làm việc với mô hình không gian), tự tin trước các đề kiểm tra và các bài toán thực tiễn.

Bạn có thể luyện tập hoàn toàn miễn phí với hơn 42.226+ bài tập cuối chương VII ngay trên website này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Hai đường thẳng vuông góc trong không gian, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.

- Định lý và tính chất:

+ Định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trên mặt phẳng đó.

+ Tính chất chuyển vuông góc: Nếu $a \perp \alpha$và $b \subset \alpha$, $a \perp b$.

- Điều kiện áp dụng: Luôn kiểm tra$a$cắt$\alpha$tại 1 điểm duy nhất; xác định hai đường thẳng phải cùng nằm trên mặt phẳng để áp dụng định lý.

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng:

$\cos{\alpha} = \left| \vec{a} \cdot \vec{b} \right| / (|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|)$

- Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

$\sin{\theta} = \frac{\left| \vec{a} \cdot \vec{n} \right|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{n}|}$

- Công thức ghi nhớ dễ dàng: Soạn thành các nhóm nhỏ, liên hệ với hình vẽ, gắn với ví dụ thực tế.

- Các biến thể: Trong bài toán thực tế, đôi khi phải biến đổi phương trình đường thẳng hoặc mặt phẳng để đưa về dạng quen thuộc trước khi áp dụng công thức.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác đều và $SA \perp (ABC)$. Chứng minh$SA \perp AB$.

- Lời giải từng bước:

1.$SA \perp (ABC)$nên$SA \perp AB$(theo định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó)

- Lưu ý: Không cần chứng minh lại mà có thể áp dụng trực tiếp tính chất.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho điểm$A(1;2;3)$, đường thẳng$d$có vector chỉ phương$\vec{a} = (1,1,0)$và mặt phẳng$(P): x+2y+2z-3 = 0$. Tính góc giữa$d$và $(P)$.

-$\vec{n} = (1,2,2)$là vector pháp tuyến của mặt phẳng$(P)$.

- Tính:$\left| \vec{a} \cdot \vec{n} \right| = |1<em>1 + 1</em>2 + 0*2| = |3| = 3$

- Lấy độ dài: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$, $|\vec{n}| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$

- Vậy $\sin \theta = \frac{3}{3 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$⇒$\theta = 45^\circ$.

Kỹ thuật giải nhanh: Xác định vector pháp tuyến và chỉ phương rồi tính tích vô hướng, tránh nhầm lẫn số liệu.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Đường thẳng song song với mặt phẳng:$a \parallel \alpha$⇒$a$không vuông góc với bất kỳ đường nào trên$\alpha$.

- Hai đường thẳng chéo nhau: Không áp dụng trực tiếp được định lý về vuông góc của hai đường thẳng.

- Mối liên hệ với các khái niệm: Nên kết hợp kiến thức về hình chiếu, hình học tọa độ để giải bài toán tổng hợp.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Nhầm tưởng hai đường thẳng bất kỳ cắt nhau thì có thể vuông góc trong không gian. Cần phân biệt đường thẳng nằm trên hoặc cắt tại điểm thuộc mặt phẳng.

- Nhầm lẫn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và vuông góc với một đường thẳng.

Cách phân biệt: Luôn xác định rõ vị trí không gian của từng đối tượng hình học trước khi kết luận.

5.2 Lỗi về tính toán

- Quên chuẩn hóa vector, sai khi tính tích vô hướng.

- Nhập nhằng dấu hoặc căn bậc hai khi tính góc

Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào kiểm tra lại bằng hình vẽ; so sánh chiều dài số học của góc hoặc vector.

6. Luyện tập miễn phí ngay

- Truy cập ngay kho bài tập "Bài tập cuối chương VII" với hơn 42.226+ bài tập hoàn toàn miễn phí.

- Không cần đăng ký tài khoản, bạn chỉ cần chọn chủ đề và bắt đầu luyện tập lập tức!

- Hệ thống tự động lưu, đánh giá tiến độ học tập và gợi ý bài phù hợp để bạn cải thiện kỹ năng từng ngày.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nắm chắc kiến thức về các loại quan hệ vuông góc trong không gian.

- Ghi nhớ công thức tính góc, các định lý áp dụng.

- Ôn tập bằng checklist trước khi làm bài:

- Xây dựng kế hoạch ôn tập hợp lý, luyện tập thường xuyên để thành thạo toàn bộ nội dung chương VII!