1. Giới thiệu về khái niệm$\cos$và tầm quan trọng

Hàm số $\cos$(ký hiệu là $\cos$) là một trong những khái niệm trung tâm của lượng giác. Ở chương trình lớp 11,$\cos$không chỉ xuất hiện trong các bài toán về tam giác mà còn là phần không thể thiếu khi học hàm số lượng giác, phương trình lượng giác và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật,… Việc hiểu rõ bản chất của$\cos$sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập liên quan một cách hiệu quả.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng của hàm số $\cos$

a) Định nghĩa trên tam giác vuông:

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$,$\widehat{ABC} = \theta$($0 < \theta < 90^\circ$). Khi đó:

• Cosin của góc$\theta$là tỉ số giữa độ dài cạnh kề và cạnh huyền:
• \cos\theta = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}

Trong tam giác vuông trên, nếu$AB$là cạnh kề góc$\theta$,$BC$là cạnh huyền, thì $\cos \theta = \frac{AB}{BC}$.

b) Định nghĩa trên đường tròn lượng giác:

Trên đường tròn lượng giác bán kính$1$, cosin của một góc$x$(tính theo radian) chính là hoành độ (tọa độ $x$) của điểm ứng với góc đó trên đường tròn.

Cách viết tổng quát:$\cos: \mathbb{R} \to [-1,1]$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

a) Ví dụ 1: Tính$\cos 60^\circ$trong tam giác vuông

Tam giác $ABC$vuông tại$A$, $\widehat{ABC} = 60^\circ$, $AB = 1$, $AC = \sqrt{3}$. Tính cạnh $BC$và $\cos 60^\circ$.

Áp dụng định lý Pytago: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$.

Do đó,$\cos 60^\circ = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{2}$.

b) Ví dụ 2: Đọc giá trị $\cos x$trên đường tròn lượng giác

Trên đường tròn lượng giác, vẽ góc$x = 120^\circ$. Hoành độ điểm trên đường tròn tương ứng là $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• $\cos 0^\circ = 1$,$\cos 90^\circ = 0$,$\cos 180^\circ = -1$
• $\cos(-x) = \cos x$(cos là hàm chẵn)
• Giá trị của$\cos x$luôn nằm trong khoảng từ $-1$ đến$1$với mọi$x$.
• Khi nhập máy tính, chú ý chuyển đổi giữa độ và radian.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- Với $\sin$ ($\sin$): $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

- Với $\tan$ ($\tan$): $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$; điều kiện $\cos x <br> \neq 0$.

- Chu kỳ của hàm số $\cos$là $2\pi$, tức$\cos(x + 2\pi) = \cos x$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài 1: Tính$\cos 45^\circ$.

Lời giải:Ta biết tam giác vuông cân có góc$45^\circ$, hai cạnh góc vuông bằng nhau. Theo định nghĩa:

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Bài 2: Cho$\cos x = 0.5$, hãy tìm$x$trong đoạn$[0; 180^\circ]$.

Lời giải:$\cos x = 0.5 \Rightarrow x = 60^\circ$hoặc$x = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$. Nhưng trong$[0;180^\circ]$, chỉ có $x=60^\circ$phù hợp.

• Bài 3: Xác định dấu của$\cos x$trong từng góc phần tư trên đường tròn lượng giác.

Lời giải:Góc phần tư I:$\cos x > 0$
Góc phần tư II:$\cos x < 0$
Góc phần tư III:$\cos x < 0$
Góc phần tư IV:$\cos x > 0$

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa cạnh kề và cạnh đối khi áp dụng định nghĩa trong tam giác vuông.
• Đặt chế độ máy tính sai giữa 'độ' (DEG) và 'radian' (RAD).
• Quên rằng giá trị $\cos x$bị giới hạn trong$[-1;1]$.
• Không nhận diện đúng dấu của$\cos x$theo góc phần tư.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ

• $\cos x$là tỉ số cạnh kề trên cạnh huyền trong tam giác vuông.
• Trên đường tròn lượng giác,$\cos x$là hoành độ của điểm xác định bởi góc$x$.
• $\cos x$là hàm số chẵn, xác định trên tập số thực và nhận giá trị từ $-1$ đến$1$.
• Nên luôn xác định chế độ góc (radian hoặc độ) khi dùng máy tính.
• Nắm vững các giá trị đặc biệt của$\cos$($0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 180^\circ$,...).