1. Giới thiệu về khái niệm cos và tầm quan trọng trong Toán lớp 11

Ở lớp 11, lượng giác là một trong những chủ đề lớn và quan trọng. Trong đó, "cos" (viết tắt của cosine) là một khái niệm trung tâm, xuất hiện liên tục trong các dạng bài toán và ứng dụng thực tiễn. Việc nắm vững bản chất và cách vận dụng hàm số cos giúp học sinh giải quyết nhiều dạng bài tập: từ giải tam giác, chứng minh công thức lượng giác, đến nghiên cứu hàm số. Do đó, hiểu rõ về cos là bước nền cơ bản trước khi học sâu hơn về lượng giác.

2. Định nghĩa chính xác về cos

Cosin (cos) là một trong ba hàm lượng giác cơ bản. Có hai cách định nghĩa phổ biến về cos:

• Định nghĩa trong tam giác vuông:

Trong một tam giác vuông, cosin của góc nhọn$x$là tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền:

• Định nghĩa trên đường tròn lượng giác:

Với mỗi góc lượng giác $x$, điểm $M$trên đường tròn lượng giác có toạ độ $(\cos x; \sin x)$. Khi đó, $\cos x$là hoành độ của điểm$M$.

3. Giải thích từng bước và ví dụ minh họa

a) Ví dụ với tam giác vuông:

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$,$\angle ABC = x$, cạnh$AB = 3$(cạnh kề góc$B$),$AC = 4$,$BC = 5$(cạnh huyền). Tính$\cos x$.

Giải:

Vì \cos x = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0{,}6 .

b) Ví dụ với đường tròn lượng giác:

Trên đường tròn lượng giác bán kính$1$, với góc$x = 60^\circ$, điểm$M$có hoành độ bằng$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng cos

• Cos các góc đặc biệt:

$\cos 0^\circ = 1;\ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2};\ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2};\ \cos 60^\circ = \frac{1}{2};\ \cos 90^\circ = 0$

• Tính chẵn của hàm cos:

$\cos(-x) = \cos x$

• Giá trị của cos luôn nằm trong đoạn$[-1;1]$

5. Mối liên hệ giữa cos với các khái niệm lượng giác khác

- $\sin^2x + \cos^2x = 1$
- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$(với$\cos x \neq 0$)

- Công thức cộng góc: $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

6. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết

• Bài tập 1: Cho tam giác vuông$MNP$tại$N$,$MP = 13$,$NP = 5$, tính$\cos(M)$.

Giải:
Tìm cạnh kề NM:
Dùng định lý Pytago:
$NM = \sqrt{MP^2 - NP^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
$\cos(M) = \frac{NM}{MP} = \frac{12}{13}$.

• Bài tập 2: Tính$\cos(120^\circ)$.

Giải:
$\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = - \cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$

7. Những lỗi sai thường gặp và cách tránh

Để tránh sai sót: luôn vẽ hình minh họa, xác định chính xác cạnh phục vụ cho tính toán, và kiểm tra lại dấu của cos căn cứ vào vị trí của góc trên đường tròn lượng giác.

8. Tóm tắt và các điểm quan trọng cần nhớ về cos