Blog

Giải thích chi tiết: Hàm số logarit – Lý thuyết, công thức và ví dụ minh họa lớp 11

T
Tác giả
5 phút đọc
Chia sẻ:
5 phút đọc

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Hàm số logarit là một kiến thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 11. Đây là nội dung nền tảng không chỉ cho các bài học Đại số ở bậc phổ thông mà còn quan trọng khi học các kiến thức nâng cao hơn ở lớp 12 và Đại học. Việc hiểu kỹ hàm số logarit giúp bạn dễ dàng tiếp cận các dạng bài tập về phương trình, bất phương trình, và nhiều ứng dụng thực tế như sự tăng trưởng dân số, vật lý hạt nhân, tài chính,...

Hiện tại, bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 1000+ bài tập hàm số logarit, giúp củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

a) Định nghĩa:

Choa>0,a1a>0, a \neq 1, hàm số logarit cơ số aa được định nghĩa bởi:

y=logaxay=xy = \log_a x \Leftrightarrow a^y = x

Điều kiện:x>0x>0.

b) Những khái niệm quan trọng:
- Cơ số aacủa logarit phải là số dương khác 1 (a>0,a1a>0, a \neq 1).
- Số lấy logaritxxluôn dương (x>0x>0).

c) Các định lý và tính chất chính:
- Hàm số y=logaxy=\log_a xcó tập xác định là (0;+)(0; +\infty).
- Nếu0<a<10 < a < 1, thì hàm số logarit nghịch biến trên(0;+)(0; +\infty). Nếua>1a > 1, thì hàm số đồng biến trên(0;+)(0; +\infty).
- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ 00.

2.2 Công thức và quy tắc

- Các công thức cần thuộc lòng:

1.loga(xy)=logax+logay\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y
2.loga(xy)=logaxlogay\log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y
3.logaxk=klogax\log_a x^k = k \log_a x
4.logaa=1\log_a a = 1,loga1=0\log_a 1 = 0
5. Đổi cơ số:logab=logcblogca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

- Cách ghi nhớ công thức: Luyện viết lại công thức nhiều lần, làm bài tập thực hành, kết hợp sơ đồ tư duy hoặc các mẹo học thuộc (ví dụ: Multiplication thành cộng, Chia thành trừ).
- Đối với mỗi công thức, chỉ sử dụng khi điều kiện xác định hợp lý (cơ số dương, khác 1, số lấy log dương).
- Một số biến thể: loga(x)=12logax\log_a \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2} \log_a x, loga(1x)=logax\log_a \left( \frac{1}{x} \right) = -\log_a x.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tínhlog216\log_2 16.

Lời giải:

Ta biết24=162^4 = 16, vậy theo định nghĩa:
log216=4\log_2 16 = 4

Giải thích: Tìm số mũ yysao cho2y=162^y = 16. Suy ray=4y = 4.

3.2 Ví dụ nâng cao

Ví dụ: Giải phương trìnhlog3(x1)+log3(x+1)=2\log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = 2.

Lời giải từng bước:

Bước 1: Sử dụng công thứclog3(x1)+log3(x+1)=log3[(x1)(x+1)]=log3(x21)\log_3 (x-1) + \log_3 (x+1) = \log_3 [(x-1)(x+1)] = \log_3(x^2-1).

Bước 2: Đặt log3(x21)=2x21=32=9x2=10x=±10\log_3(x^2-1) = 2 \Rightarrow x^2-1 = 3^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \pm \sqrt{10}.

Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định:x1>0x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1,x+1>0x>1x+1 > 0 \Rightarrow x > -1. Kết hợp lại đượcx>1x > 1.

Vậy đáp số: x=10x = \sqrt{10}(loạix=10x = -\sqrt{10} do không thỏa điều kiện).

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếux0x \leq 0thì logarit không xác định.
- Nếu cơ số a=1a = 1hoặca0a \leq 0cũng không xác định.
- Khi giải phương trình, luôn kiểm tra điều kiện xác định của các biểu thức logarit xuất hiện.
- Hàm số logarit liên hệ chặt chẽ với hàm số mũ:alogax=xa^{\log_a x} = x,loga(ax)=x\log_a (a^x) = x.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Dễ nhầm lẫn giữalogax\log_a xaxa^x(logarit và mũ là hai phép toán ngược nhau).
- Quên điều kiện xác định:a>0,a1,x>0a > 0, a \neq 1, x > 0.
- Nhầm lẫn giữalogab\log_ablnb\ln b(cơ số e). Nên ghi nhớ ký hiệu rõ ràng.

5.2 Lỗi về tính toán

- Nhầm lẫn cộng trừ nhân chia công thức logarit.
- Sai sót khi rút gọn biểu thức: ví dụ loga(x2)(logax)2\log_a(x^2) \neq (\log_a x)^2.
- Quên kiểm tra điều kiện xác định khi giải phương trình logarit.
- Phương pháp kiểm tra: Sau khi giải raxx, thế ngược lại vào điều kiện xác định để đảm bảo kết quả hợp lý.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập ngay kho hơn 1000+ bài tập hàm số logarit hoàn toàn miễn phí. Bạn không cần đăng ký — chỉ cần chọn chủ đề là có thể bắt đầu luyện tập. Hệ thống sẽ giúp bạn tự động theo dõi mức độ tiến bộ và gợi ý những phần cần cải thiện để học hàm số logarit dễ dàng và hiệu quả nhất.

Tìm kiếm nhanh: "luyện tập hàm số logarit miễn phí", "bài tập hàm số logarit miễn phí", "học hàm số logarit miễn phí" để bắt đầu luyện tập ngay!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Nắm chắc: Định nghĩa, điều kiện xác định, công thức logarit cơ bản, biến đổi và đổi cơ số.
- Tránh nhầm lẫn giữa logarit và mũ, kiểm tra kỹ điều kiện trong mọi bài toán.
- Checklist:
- [ ] Đã hiểu định nghĩa và tính chất?
- [ ] Đã thuộc các công thức cơ bản?
- [ ] Có biết điều kiện xác định?
- [ ] Biết phát hiện lỗi và kiểm tra kết quả?

Lên kế hoạch ôn tập: Luyện giải ít nhất 5 bài/ngày, ưu tiên xen kẽ các ví dụ cơ bản – nâng cao, thường xuyên tự kiểm tra điều kiện xác định để tránh mắc lỗi.

T

Tác giả

Tác giả bài viết tại Bạn Giỏi.

Nút này mở form phản hồi nơi bạn có thể báo cáo lỗi, đề xuất cải tiến, hoặc yêu cầu trợ giúp. Form sẽ tự động thu thập thông tin ngữ cảnh để giúp chúng tôi hỗ trợ bạn tốt hơn. Phím tắt: Ctrl+Shift+F. Lệnh giọng nói: "phản hồi" hoặc "feedback".