1. Giới thiệu về khái niệm "$\tan$" và tầm quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11

Trong chương trình toán lớp 11, hàm số lượng giác đóng vai trò then chốt, giúp học sinh tiếp cận sâu hơn với các vấn đề về hình học và các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Trong số đó, hàm "$\tan$" (tangent - tiếp tuyến) là một trong những khái niệm cơ bản, xuất hiện nhiều trong các bài toán về tam giác và hình học không gian. Việc hiểu rõ hàm số này giúp học sinh dễ dàng nắm vững các công thức lượng giác, giải quyết các bài toán hình học phức tạp và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.

2. Định nghĩa chính xác và rõ ràng về "$\tan$"

Hàm số $\tan$, ký hiệu là $\tan x$, là một trong sáu hàm lượng giác cơ bản. Định nghĩa toán học của$\tan x$như sau:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Ngoài ra, trong tam giác vuông, nếu$x$là số đo một góc nhọn thì:

\tan x = \frac{\text{Đối}}{\text{Kề}}

Trong đó:

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Giả sử ta có tam giác vuông$ABC$vuông tại$A$, góc$B = x$.

$AB$là cạnh kề,$BC$là cạnh huyền và $AC$là cạnh đối.

Khi đó,$\tan x = \frac{AC}{AB}$.

Ví dụ minh họa:

Cho tam giác vuông$ABC$vuông tại$A$,$AB = 3$,$AC = 4$. Tính$\tan B$.

Giải:

$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3}$

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

-$\tan x$không xác định tại các giá trị $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với$k$là số nguyên, vì khi đó $\cos x = 0$.

- Khoảng xác định của hàm số $\tan x$là:$D = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z} \}$.

- Hàm$\tan x$là hàm lẻ:$\tan(-x) = -\tan x$.

- Chu kỳ của hàm số là $\pi$.

5. Mối liên hệ với các khái niệm toán học khác

- $\tan x$được tạo thành từ$\sin x$và $\cos x$. Nếu biết $\sin x$và $\cos x$có thể tính$\tan x$ dễ dàng.

-$\tan x$cùng với$\cot x$là hai hàm số nghịch đảo:

$\tan x = \frac{1}{\cot x}$

- $\tan x$nằm trong nhóm các hàm số lượng giác cùng với$\sin x$, $\cos x$, $\cot x$, $\sec x$và $\csc x$.

6. Các bài tập mẫu có lời giải chi tiết

Bài 1: Tính giá trị $\tan x$biết$\sin x = \frac{3}{5}$và $x$ là góc nhọn.

Giải:

Ta có $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2x} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

$\Rightarrow \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.

Bài 2: Cho tam giác vuông tại$A$,$AB = 6$,$AC = 8$. Tính$\tan B$.

Giải:

$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Bài 3: Xác định tất cả các giá trị của$x$trong khoảng$(0, 2\pi)$để$\tan x = 0$.

Giải:

Phương trình $\tan x = 0\Leftrightarrow \sin x = 0$, mà $x <br>e \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$nên$x = 0, \pi, 2\pi$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

- Quên điều kiện xác định của$\tan x$, dẫn đến chia cho$0$khi$\cos x = 0$.

- Nhầm lẫn giữa công thức $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ và công thức áp dụng trong tam giác vuông.

- Dùng sai đơn vị góc (độ và radian), luôn kiểm tra đơn vị trước khi tính toán.

8. Tóm tắt và các điểm chính cần nhớ