1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Tổng vô hạn cấp số nhân là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Trong đó, công thức$S = \frac{u_1}{1 - q}$với điều kiện$|q| < 1$giúp chúng ta tính được tổng vô hạn của một dãy số dạng đặc biệt – dãy cấp số nhân. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo công thức này không chỉ giúp giải quyết các bài toán trên lớp, mà còn có nhiều ứng dụng thực tế như mô hình tài chính, vật lý, sinh học, v.v.

Đây là một chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra, thi học kỳ và các kỳ thi quan trọng. Việc nắm chắc kiến thức này giúp bạn giải quyết nhanh chóng các dạng bài tập liên quan. Bạn cũng có thể luyện tập miễn phí với 36.574+ bài tập về tổng vô hạn cấp số nhân ngay dưới đây!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa cấp số nhân: Là dãy số $u_1, u_2, u_3,...$mà từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều gấp$q$lần số hạng ngay trước đó, tức là $u_{n+1} = u_n \cdot q$.

- Tổng vô hạn cấp số nhân (cấp số nhân lùi): Là tổng$u_1 + u_2 + u_3 +...$ đến vô hạn, với điều kiện$|q| < 1$.

- Công thức tổng vô hạn:$S = u_1 + u_1 q + u_1 q^2 +... = \frac{u_1}{1 - q}$khi$|q| < 1$.

- Điều kiện áp dụng: Công thức này CHỈ dùng được khi$|q| < 1$(tức là $q$nằm trong đoạn$(-1, 1)$).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức cần thuộc lòng:$S = \frac{u_1}{1 - q}$(với$|q| < 1$).

- Ghi nhớ hiệu quả: "Lấy số hạng đầu chia cho 1 trừ công bội". Đừng quên điều kiện$|q| < 1$.

- Biến thể: Nếu tổng có giới hạn khác, hoặc$|q| \ge 1$thì cần dùng lý thuyết khác.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

- Ví dụ: Tính tổng vô hạn của dãy$2, 1, 0.5, 0.25,...$

Giải:

- Xác định$u_1 = 2$,$q = 0.5$(vì $1/2 = 0.5$)
- Kiểm tra điều kiện:$|q| = 0.5 < 1$✅
- Áp dụng công thức:
$S = \frac{u_1}{1-q} = \frac{2}{1-0.5} = \frac{2}{0.5} = 4$

Lưu ý: Phải xác định đúng$q$(lấy số sau chia số trước), kiểm tra điều kiện$|q| < 1$, mới được dùng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

- Ví dụ: Tính tổng vô hạn của dãy$5, -2.5, 1.25, -0.625,...$

Giải:
-$u_1 = 5$,$q = \frac{-2.5}{5} = -0.5$
-$|q| = 0.5 < 1$nên được áp dụng
-$S = \frac{5}{1-(-0.5)} = \frac{5}{1+0.5} = \frac{5}{1.5} \approx 3.33$

Thủ thuật: Luôn xác định đúng dấu của$q$. Tổng có thể là số âm hay dương tùy vào dấu$u_1$và $q$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$|q| \ge 1$, tổng vô hạn KHÔNG tồn tại (không dùng công thức này).

- Nếu$q = 0$, tổng vô hạn là $u_1$(tất cả số hạng sau bằng 0).

- Công thức này liên hệ trực tiếp với các bài toán về cấp số nhân hữu hạn, lãi kép, phân tích tài chính.

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Hiểu sai định nghĩa cấp số nhân ($q$phải không đổi giữa các số hạng liên tiếp).

- Nhầm với tổng hữu hạn: Công thức tổng vô hạn KHÔNG áp dụng cho dãy có số lượng hữu hạn số hạng.

- Cách phân biệt: Tổng vô hạn →$\infty$số hạng & $|q| < 1$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai khi xác định$u_1$hoặc$q$.

- Quên kiểm tra điều kiện$|q| < 1$.

- Phương pháp kiểm tra: Thay thử một vài số hạng đầu, kiểm tra dãy hội tụ hay không.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Bạn có thể truy cập 36.574+ bài tập S = \frac{u_1}{1 - q} nếu$|q| < 1$MIỄN PHÍ ngay hôm nay! Không cần đăng ký, bắt đầu luyện tập và kiểm tra tiến độ học tập, cải thiện kỹ năng nhanh chóng.

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Công thức cần thuộc:$S = \frac{u_1}{1-q}$(áp dụng đúng khi$|q| < 1$).

- Checklist kiến thức trước khi làm bài: Kiểm tra đúng dạng dãy, xác định đúng$u_1, q$, kiểm tra$|q| < 1$, áp dụng công thức.

- Kế hoạch ôn tập: Thực hành nhiều ví dụ, luyện tập trên hệ thống miễn phí với các bài tập tổng vô hạn cấp số nhân.