Giải thích chi tiết về công thức Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) – Tổng cấp số nhân lớp 11

1. Giới thiệu và tầm quan trọng

Công thức$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$là công thức tính tổng$n$số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (CSN). Trong chương trình Toán học lớp 11, đây là chủ đề quan trọng giúp học sinh ứng dụng vào nhiều bài toán thực tế, như tính lãi suất kép, mô hình lan truyền dịch bệnh hoặc sự phát triển dân số,... Hiểu rõ công thức này sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả các dạng bài nâng cao về dãy số, đồng thời phát triển tư duy logic khi giải quyết các vấn đề trong học tập lẫn đời sống thường ngày.

Việc nắm vững$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$không chỉ giúp bạn đạt điểm cao mà còn mở rộng khả năng áp dụng Toán vào các lĩnh vực thực tiễn. Bạn có thể luyện tập miễn phí với hơn 42.226+ bài tập chuyên sâu để hiểu sâu và thành thạo dạng toán này!

2. Kiến thức trọng tâm cần nắm vững

2.1 Lý thuyết cơ bản

- Định nghĩa: Một dãy số $\{u_n\}$gọi là cấp số nhân nếu mỗi số hạng (từ số hạng thứ 2 trở đi) đều bằng số hạng liền trước nhân với một số không đổi$q$(khác 0 và 1), tức là $u_{n+1} = u_n \cdot q$.

- Số hạng đầu tiên$u_1$, công bội$q$, số hạng thứ $n$:$u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

- Tổng$n$số hạng đầu:$S_n = u_1 + u_2 + \cdot s + u_n$.

- Công thức chính:$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$với$q \neq 1$.

- Điều kiện:$q \neq 1$(nếu$q=1$, cấp số nhân trở thành cấp số cộng đặc biệt).

2.2 Công thức và quy tắc

- Công thức trọng tâm:$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}$

- Nếu$q = 1$, tổng$n$số hạng:$S_n = n u_1$

- Cách ghi nhớ: 'Tổng bằng số đầu nhân hiệu lũy thừa công bội trên hiệu công bội - 1'.

- Biến thể: Đôi khi, công thức còn được viết dưới dạng$S_n = u_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$(khi$q>1$), nhưng cần chú ý dấu để tránh nhầm lẫn.

3. Ví dụ minh họa chi tiết

3.1 Ví dụ cơ bản

Cho cấp số nhân$\{u_n\}$có $u_1 = 2$,$q = 3$. Tính tổng 4 số hạng đầu:$S_4$?

Áp dụng công thức:$S_4 = 2 \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \frac{1 - 81}{-2} = 2 \frac{-80}{-2} = 2 \times 40 = 80$.

Lưu ý: Luôn xác định đúng dấu và kiểm tra$q \neq 1$trước khi áp dụng công thức.

3.2 Ví dụ nâng cao

Một cấp số nhân có $u_1 = 5$,$q = \frac{1}{2}$. Tính$n$nhỏ nhất sao cho$S_n > 9$.

Giải:

Áp dụng công thức:$S_n = 5 \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = 10(1 - (\frac{1}{2})^n)$

Ta cần$10(1 - (\frac{1}{2})^n) > 9 \Leftrightarrow (\frac{1}{2})^n < 0,1$. Với một chút tính toán, tìm$n = 4$là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn.

Kỹ thuật giải: Biến đổi bất phương trình, dùng logarit (nếu cần) để tìm$n$.

4. Các trường hợp đặc biệt

- Nếu$q=1$, công thức trên không dùng được, phải tính$S_n = n u_1$.

- Trường hợp$|q| < 1$,$q$ âm: cần chú ý dấu$q^n$.

- Khi số hạng đầu khác 0 hoặc công bội âm, phải xét kỹ các tính chất lũy thừa, dấu của tổng qua từng trường hợp cụ thể.

- Tổng vô hạn khi$|q|<1$:$S = \frac{u_1}{1-q}$(nâng cao).

5. Lỗi thường gặp và cách tránh

5.1 Lỗi về khái niệm

- Đổi nhầm giữa cấp số nhân và cấp số cộng.

- Không kiểm tra điều kiện$q \neq 1$.

- Nhầm lẫn giữa$q^n$và $q^{n-1}$.

5.2 Lỗi về tính toán

- Sai dấu do mẫu số bị âm.

- Quên nhân với$u_1$.

- Không bù trừ đúng lũy thừa khi$q$ âm hoặc$|q|<1$.

Phương pháp kiểm tra: Thay kết quả vào công thức gốc hoặc kiểm tra từng số hạng riêng lẻ.

6. Luyện tập miễn phí ngay

Truy cập kho 42.226+ bài tập Sₙ = u₁(1 - qⁿ)/(1 - q) miễn phí. Không cần đăng ký, luyện tập ngay lập tức, theo dõi tiến độ và cải thiện kỹ năng liên tục!

7. Tóm tắt và ghi nhớ

- Thuộc lòng công thức:$S_n = u_1 \frac{1 - q^n}{1 - q}, q \neq 1$

- Kiểm tra điều kiện$q \neq 1$trước mỗi bài toán.

- Đọc kỹ đề, xác định$u_1$,$q$,$n$rõ ràng.

Checklist ôn tập: Định nghĩa cấp số nhân | Công thức tính$u_n$,$S_n$| Lưu ý khi$q = 1$| Thành thạo các ví dụ minh họa | Luyện tập thường xuyên | Tự kiểm tra sau khi làm bài.

Chúc các bạn học tốt và chinh phục dạng toán này thật xuất sắc!