1. Giới thiệu: Cos là gì và tại sao quan trọng trong Toán lớp 11?

Khi học chương trình Toán lớp 11, chắc chắn bạn sẽ gặp rất nhiều bài toán liên quan đến lượng giác, đặc biệt là hàm "$\cos$". Chính vì vậy, hiểu rõ $\cos$là gì, cách sử dụng cũng như các lưu ý khi vận dụng sẽ giúp bạn tự tin làm bài, tránh các lỗi sai cơ bản và nâng cao điểm số ở các kỳ kiểm tra, thi học kỳ hoặc thi THPT Quốc gia.

2. Định nghĩa chính xác về cos

Hàm số $\cos$(ký hiệu là $\cos$hoặc$\cos$) là một trong các hàm lượng giác cơ bản liên hệ với góc trong tam giác vuông hoặc trên đường tròn lượng giác.

• Theo định nghĩa trong tam giác vuông: Nếu bạn có tam giác vuông$ABC$với góc vuông tại$A$, khi đó:

\cos{B} = \dfrac{\text{cạnh kề góc} B}{\text{cạnh huyền}}

• Theo định nghĩa trên đường tròn lượng giác: Cho đường tròn lượng giác tâm$O$bán kính$r=1$, điểm$M$nằm trên đường tròn ứng với góc$x$(tính từ trục$Ox$). Khi đó, hoành độ của$M$chính là $\cos{x}$.

3. Giải thích từng bước với ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sử dụng định nghĩa trong tam giác vuông

Cho tam giác vuông$ABC$tại$A$, cạnh$AB = 3$,$AC = 4$, cạnh huyền$BC = 5$.

Tính$\cos{B}$:

Theo định nghĩa:$\cos{B} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{5}$.

Ví dụ 2: Dùng đường tròn lượng giác

Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm$M$ ứng với góc$x = 60^\circ$.

Khi đó, hoành độ điểm$M$là $\cos{60^\circ} = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 3: Tính giá trị lượng giác của một góc âm

Tính$\cos(-30^\circ)$.

Ta biết: $\cos{(-x)} = \cos{x}$nên$\cos{(-30^\circ)} = \cos{30^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Các trường hợp đặc biệt và lưu ý khi áp dụng

• Hàm số $\cos$luôn nằm trong khoảng từ $-1$ đến$1$:$-1 \leq \cos{x} \leq 1$.

• Giá trị đặc biệt của$\cos$:

$\cos{0^\circ} = 1 \qquad \cos{90^\circ} = 0 \qquad \cos{180^\circ} = -1$

• Ngoài ra,$\cos$là hàm chẵn:$\cos{(-x)} = \cos{x}$.

5. Mối liên hệ của cos với các khái niệm toán học khác

• Quan hệ với hàm $\sin$: $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$. Đây là hệ thức lượng giác cơ bản.

• Quan hệ với hàm tang: $\tan{x} = \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}, \cos{x} <br> \neq 0$.

• Mối quan hệ chu kỳ:$\cos{(x + 360^\circ)} = \cos{x}$.

6. Bài tập mẫu và lời giải chi tiết

Bài tập 1

Tính giá trị $\cos{60^\circ}$và $\cos{120^\circ}$.

•$\cos{60^\circ} = \dfrac{1}{2}$.

•$\cos{120^\circ} = \cos{(180^\circ - 60^\circ)} = -\cos{60^\circ} = -\dfrac{1}{2}$.

Bài tập 2

Cho góc$x$sao cho$\cos{x} = 0,5$, tìm tất cả các góc$x$trong khoảng$0^\circ \leq x < 360^\circ$.

$\cos{x} = 0,5$tại$x = 60^\circ$hoặc$x = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$

Vậy nghiệm là $x = 60^\circ$và $x = 300^\circ$.

Bài tập 3

So sánh$\cos{30^\circ}$và $\cos{45^\circ}$.

$\cos{30^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\cos{45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$

Vậy$\cos{30^\circ} > \cos{45^\circ}$.

7. Các lỗi thường gặp và cách tránh

• Nhầm lẫn giữa sin và cos khi xác định cạnh kề, cạnh đối (trong tam giác vuông). Hãy luôn nhớ: cos liên hệ với cạnh kề.
• Quên dấu (+) hoặc (-) khi làm việc với góc lớn hơn$90^\circ$. Ghi nhớ dấu của cos theo các góc phần tư trên đường tròn lượng giác.
• Lẫn lộn đơn vị độ (°) và radian. Đảm bảo xác định rõ đơn vị trước khi tính toán.

8. Tóm tắt kiến thức và điểm cần nhớ về hàm cos

• Hàm cos xác định tỷ số cạnh trong tam giác vuông hoặc hoành độ điểm trên đường tròn lượng giác.
• Giá trị cos luôn nằm trong [-1; 1], là hàm chẵn và có chu kỳ $360^\circ$($2\pi$radians).
• Biết các giá trị đặc biệt và dấu cos ở từng góc phần tư giúp làm bài nhanh hơn.
• Nắm chắc mối liên hệ giữa sin, cos, tan để giải các bài toán lượng giác.